韋達定理

設一元二次方程中，兩根x₁、x₂有如下關係：

由一元二次方程求根公式知：

則有：

如果兩數α和β滿足如下關係：α+β=，α·β=，那麼這兩個數α和β是方程的根。

通過韋達定理的逆定理，可以利用兩數的和積關係構造一元二次方程。

韋達定理不僅可以說明一元二次方程根與係數的關係，還可以推廣說明一元n次方程根與係數的關係。

定理：

設（i=1、2、3、……n）是方程：的n個根，記（k為整數），則有：

。

法國數學家弗朗索瓦·韋達於1615年在著作《論方程的識別與訂正》中改進了三、四次方程的解法，還對n=2、3的情形，建立了方程根與係數之間的關係，現代稱之為韋達定理。

韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。韋達在16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。

韋達定理在求根的對稱函數，討論二次方程根的符號、解對稱方程組以及解一些有關二次曲線的問題都凸顯出獨特的作用。

一元二次方程的根的判別式為（a，b，c分別為一元二次方程的二次項係數，一次項係數和常數項）。韋達定理與根的判別式的關係更是密不可分。

根的判別式是判定方程是否有實根的充要條件，韋達定理說明了根與係數的關係。無論方程有無實數根，實係數一元二次方程的根與係數之間適合韋達定理。判別式與韋達定理的結合，則更有效地說明與判定一元二次方程根的狀況和特徵。

韋達定理最重要的貢獻是對代數學的推進，它最早系統地引入代數符號，推進了方程論的發展，用字母代替未知數，指出了根與係數之間的關係。韋達定理為數學中的一元方程的研究奠定了基礎，對一元方程的應用創造和開拓了廣泛的發展空間。

利用韋達定理可以快速求出兩方程根的關係，韋達定理應用廣泛，在初等數學、解析幾何、平面幾何、方程論中均有體現。