一元二次方程

公元前2000年左右，古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。他們是這樣描述的：已知一個數與它的倒數之和等於一個已給數，求出這個數。他們使，，，再做出解答。可見，古巴比倫人已知道一元二次方程的解法，但他們當時並不接受負數，所以負根是略而不提的。

古埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：。

大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。《九章算術》勾股章中的第二十題，是通過求相當於x²+34x-71000=0的正根而解決的。中國數學家還在方程的研究中應用了內插法。

公元前300年左右，古希臘的歐幾里得（Euclid）（約前330年～前275年）提出了用一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

古希臘的丟番圖（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的過程中，卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中之一。

公元628年，印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）（約598～約660）出版了《婆羅摩修正體系》，得到了一元二次方程x²+px+q=0的一個求根公式。

公元820年，阿拉伯的阿爾·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代數學》。書中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。他把方程的未知數叫做“根”，后被譯成拉丁文radix。其中涉及到六種不同的形式，令a、b、c為正數，如ax=bx、ax=cx、ax+c=bx、ax+bx=c、ax=bx+c等。把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。

法國的韋達（1540～1603）除推出一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出了根與係數的關係。

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①是整式方程，即等號兩邊都是整式，方程中如果有分母；且未知數在分母上，那麼這個方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根號，且未知數在根號內，那麼這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）。

②只含有一個未知數；

③未知數項的最高次數是2。

ax²+bx+c=0(a≠0)

其中ax²是二次項，a是二次項係數；bx是一次項；b是一次項係數；c是常數項。

使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

ax²+bx=0(a、b是實數，a≠0);

ax²+c=0(a、c是實數，a≠0);

ax²=0(a是實數，a≠0)。

(a0)

（a≠0）

形如x²=p 或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。

如果方程化成x²=p的形式，那麼可得。

如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式，那麼，進而得出方程的根。

注意：

①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個常數。

②降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。

③方法是根據平方根的意義開平方。

將一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接開平方法求解的方法。

用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為一般形式；

②方程兩邊同除以二次項係數，使二次項係數為1，並把常數項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；

⑤進一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負數，則方程有兩個實根；如果右邊是一個負數，則方程有一對共軛虛根。

配方法的理論依據是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²

配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項係數化為1，然後在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。

舉例

例一：用配方法解方程

解：

將常數項移到方程右邊

將二次項係數化為1：

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：

配方：

直接開平方得：

∴ , .

∴原方程的解為 , .

用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，確定a，b，c的值（注意符號）；

②求出判別式 的值，判斷根的情況；

③在（註：此處△讀“德爾塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式 進行計算，求出方程的根。

推導過程1

一元二次方程的求根公式導出過程如下：

約分：為了配方，兩邊各加：開平方：

化簡得：

一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。一元二次方程中的判別式:，應該理解為“如果存在的話，兩個自乘後為的數當中任何一個”。在某些數域中，有些數值沒有平方根。

推導過程2

一元二次方程的求根公式導出過程如下：

a的取值範圍任意，c取值範圍任意，。從abc 的取值來看可出1億道方程以上，與因式分解相符合。

運用韋達定律驗證：

因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊轉化為兩個一元一次方程的乘積；

③令每個因式分別為零

④括弧中x，它們的解就都是原方程的解。

例：

或者

∴ ， .

一元二次方程 的根的幾何意義是二次函數 的圖像（為一條拋物線）與x軸交點的X坐標。

當 時，則該函數與x軸相交（有兩個交點）；

當時，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）；

當 時則該函數與x軸相離（沒有交點）。

另外一種解法是把一元二次方程

化為：的形式。

則方程的根，就是函數 和 交點的X坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

在使用計算機解一元二次方程時，和人手工計算類似，大部分情況下也是根據下面的公式去解

可以進行符號運算的程序，比如軟體Mathematica，可以給出根的解析表達式，而大部分程序則只會給出數值解（但亦有部分顯示平方根及虛數）。

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根（只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根）。

（2）由代數基本定理，一元二次方程有且僅有兩個根（重根按重數計算），根的情況由判別式（徠 ）決定。

利用一元二次方程根的判別式（ ）可以判斷方程的根的情況。

一元二次方程 的根與根的判別式 有如下關係：

①當 時，方程有兩個不相等的實數根；

②當 時，方程有兩個相等的實數根；

③當 時，方程無實數根，但有2個共軛復根。

上述結論反過來也成立。

設一元二次方程 中，兩根x₁、x₂有如下關係：數學推導

由一元二次方程求根公式知

則有：