判別式

判別式即判定方程實根個數及分佈情況的公式。

任意一個一元二次方程 均可配成，因為a≠0，由平方根的意義可知，的符號可決定一元二次方程根的情況．

叫做一元二次方程 的根的判別式，用“”表示(讀做“delta”)，即 ．

方程係數為實數

在一元二次方程 中

（1）當時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）當時，方程有兩個相等的實數根；

（3）當時，方程沒有實數根，方程有兩個共軛虛根．

（1）和（2）合起來：當時，方程有實數根．

上面結論反過來也成立，可以具體表示為：

在一元二次方程（a≠0，a、b、c∈R）中，

①當方程有兩個不相等的實數根時，；

②當方程有兩個相等的實數根時，；

③當方程沒有實數根時，。

（1）和（2）合起來：當方程有實數根時，．

注意 根的判別式是 ，而不是 。

一元二次方程求根公式：

當 ≥0時， ，

當時，;

當 <0時， (i是虛數單位)

方程係數為虛數

在一元二次方程（a、b、c是虛數）中

當時，此方程有兩個相等的復根；

當時，此方程有兩個不等的復根。

（1）解方程，判別一元二次方程根的情況．

它有兩種不同層次的類型：

①係數都為數字；

②係數中含有字母；

③係數中的字母人為地給出了一定的條件．

（2）根據一元二次方程根的情況，確定方程中字母的取值範圍或字母間關係．

（3）應用判別式證明方程根的情況（有實根、無實根、有兩不等實根、有兩相等實根）

應用

① 解一元二次方程，判斷根的情況。

② 根據方程根的情況，確定待定係數的取值範圍。

③ 證明字母係數方程有實數根或無實數根。

④ 應用根的判別式判斷三角形的形狀。

⑤ 判斷當字母的值為何值時，二次三項是完全平方式

⑥ 可以判斷拋物線與直線有無公共點

聯立方程。

⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點

拋物線 與x軸的交點（1）當y=0時，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可見，拋物線 與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程 的根的情況確定的，而決定一元二次方程 的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：

1）當時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程 的兩根為，則拋物線與x軸的兩個交點坐標為。

2）當時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標是（ ，0）。

3）當 時，拋物線與x軸沒有交點。

⑧ 利用根的判別式解有關拋物線與x軸兩交點間的距離的問題。

⑨當時，拋物線開口向上，當時，拋物線開口向下。

在特殊形式的一元三次方程中，其判別式為。當 時，有一個實根和兩個復根；時，有三個實根，當 時，有一個三重零根，時，三個實根中有兩個相等；時，有三個不等實根。

在一般形式的一元三次方程中，一般採用盛金判別法，即

令

當時，方程有一個三重實根。

當時，方程有一個實根和一對共軛虛根。

當時，方程有三個實根，其中有一個二重根。

當時，方程有三個不相等的實根。