歐幾里得

歐幾里得出生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。

可惜的是歐幾里德的身世我們知道得很少，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，提出五大公設，歐幾里得幾何，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數做了探究，他通過2^(n-1)·(2^n-1)的表達式發現頭四個完全數的。

當n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 當 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 當 n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 當 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 一個偶數是完全數，當且僅當它具有如下形式：2^(n-1).(2^n-1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

其中2^（n）-1是素數，上面的6和28對應著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^（n）-1 的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完全數。在手算時代梅森素數可使人們更方便的計算完全數，在計算機時代更是得到了廣泛深入的應用，計算機的CPU可以更方便的計算各種數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12 p+ 1或36 p+ 9的形式，其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。

首五個完全數是：

6

28

496

8128

33550336(8位)

歐幾里德演演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造性於一體的不朽之作。這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀到古希臘，一直到公元前4世紀——歐幾里得生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。

它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大。它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。

全書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題。

在每一卷內容當中，歐幾里得都採用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然後再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。

而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。

照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最後做出結論。對後世產生了深遠的影響。

他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法後來成了建立任何知識體系的典範，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。

除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳。歐幾里得還有另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣，內容都包含定義及證明。

《已知數》（Data）是除《原本》之外惟一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題。指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定。

《圓形的分割》（ On divisions of figures）現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分，內容與希羅（Heron of Alexandria）的作品相似。

《反射光學》（ Catoptrics）論述反射光在數學上的理論，尤其論述形在平面及凹鏡上的圖像。可是有人置疑這本書是否真正出自歐幾里得之手，它的作者可能是塞翁（Theon of Alexandria）。

《現象》（ Phenomena）是一本關於球面天文學的論文，現存希臘文本。這本書與奧托呂科斯（Autolycus of Pitane）所寫的 On the Moving Sphere相似。

《光學》（ Optics）早期幾何光學著作之一，現存希臘文本。這本書主要研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角等。認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬於歐幾里得，而且已經散失。

歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者。歐幾里得出生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。

一天，一群年輕人來到位於雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學園。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內!”這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊塗了。有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什麼？正在人們面面相覷，不知是進是退的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然後果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。

最早的幾何學興起於公元前7世紀的古埃及，后經古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學派系統奠基。在歐幾里得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性。大多數是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯繫性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明。

因此，隨著社會經濟的繁榮和發展，特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統化，成為一整套可以自圓其說、前後貫通的知識體系，已經是刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨。歐幾里得通過早期對柏拉圖數學思想，尤其是幾何學理論系統而周詳的研究，已敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢。

他下定決心，要在有生之年完成這一工作，成為幾何第一人。為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現自己的初衷。在此地的無數個日日夜夜裡，他一邊收集以往的數學專著和手稿，向有關學者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學的理解，哪怕是尚膚淺的理解。經過歐幾里得忘我的勞動，終於在公元前300年結出豐碩的果實，這就是幾經易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學正是有了它，不僅第一次實現了系統化、條理化，而且又孕育出一個全新的研究領域——歐幾里得幾何學，簡稱歐氏幾何。直到今天，他所創作的幾何原本仍然是世界各國學校里的必修課，從小學到初中、大學、再到現代高等學科都有他所創作的定律、理論和公式應用。

在柏拉圖學派晚期導師普羅克洛斯（約410～485）的《幾何學發展概要》中，就記載著這樣一則故事，說的是數學在歐幾里得的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題(這與當今社會截然相反)，以至於當時亞里山大國王托勒密一世也想趕這一時髦，學點兒幾何學。

雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻令他學的很吃力。於是，他問歐幾里得“學習幾何學有沒有什麼捷徑可走？”，歐幾里得笑道：“抱歉，陛下！學習數學和學習一切科學一樣，是沒有什麼捷徑可走的。學習數學，人人都得獨立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收穫的。在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的。”從此,“在幾何學里，沒有專為國王鋪設的大道。”這句話成為千古傳誦的學習箴言。

又有則故事。那時候，人們建造了高大的金字塔，可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這麼說：“要想測量金字塔的高度，比登天還難！”這話傳到歐幾里得耳朵里。他笑著告訴別人：“這有什麼難的呢？當你的影子跟你的身體一樣長的時候，你去量一下金字塔的影子有多長，那長度便等於金字塔的高度！”

來拜歐幾里得為師，學習幾何的人，越來越多。有的人是來湊熱鬧的，看到別人學幾何，他也學幾何。斯托貝烏斯（約500）記述了另一則故事，一位學生曾這樣問歐幾里得：“老師，學習幾何會使我得到什麼好處？”歐幾里得思索了一下，請僕人拿點錢給這位學生。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。

歐幾里得是古希臘最負盛名、最有影響的數學家之一。歐幾里得的《幾何原本》對於幾何學、數學和科學的未來發展，對於西方人的整個思維方法都有極大的影響。歐幾里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果，整理在嚴密的邏輯系統運算之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。