歐幾里得幾何

歐幾里得幾何簡稱“歐氏幾何”，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

歐氏幾何源於公元前3世紀。古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。

其中公理五又稱之為平行公設（Parallel Postulate），敘述比較複雜，並不像其他公理那麼顯然。這個公設衍生出“三角形內角和等於一百八十度”的定理。在高斯（F.Gauss）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波爾約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是“三角形內角和不一定等於一百八十度”，從而發現非歐幾里得的幾何學，即“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）。

另一方面，歐幾里得幾何的五條公理並未具有完備性。例如，該幾何中有定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。

數學研究的對象是“數”與“形”，形的數學就是幾何學．它是以直觀為主導，以培養人的空間洞察力與思維為目的．從數學發展的歷史來看幾何學的第一個最重要著作就是歐幾里得(Euclid，約公元前330一275年)的《幾何原本》．它被世界各國翻譯成各種文字．它的印刷量僅次於“聖經”，所以不少人稱《幾何原本》為數學工作者的“聖經”。《幾何原本》在數學史乃至人類思想史上有著無比崇高的地位。

在歐幾里德以前，古希臘人已經積累了大量的幾何知識，並開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。歐幾里德將早期許多沒有聯繫和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下《幾何原本》一書，標誌著歐氏幾何學的建立。這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。其中有八卷講述幾何學，包含了現今中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。但《幾何原本》的意義卻絕不限於其內容的重要，或者其對諸定理的出色證明。真正重要的是歐幾里德在書中創造的公理化方法。

這部科學著作是發行最廣而且使用時間最長的書。后又被譯成多種文字，共有二千多種版本。它的問世是整個數學發展史上意義極其深遠的大事，也是整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學中一直佔據著統治地位，至今其地位也沒有被動搖，包括中國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。

歐式幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。

歐式幾何的五條公理是：

1、任意兩個點可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4、所有直角都全等。

5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：

通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不可證的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。

另外五條公理是：

1、等於同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量減等量，其差仍相等。

4、彼此能夠重合的物體是全等的。

5、整體大於部分。

在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推導出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如“兩點確定一條直線”即是一例。同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，儘可能少地選取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德採用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義，然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上，歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。

公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域，對數學的發展產生了不可估量的影響，公理化結構已成為現代數學的主要特徵。而作為完成公理化結構的最早典範的《幾何原本》，用現代的標準來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統都有若干原始概念(或稱不定義概念)，如點、線、面就屬於這一類。歐幾里德對這些都做了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統也不完備，許多證明不得不藉助於直觀來完成。此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出。這些缺陷直到1899年德國數學家希爾伯特的在其《幾何基礎》出版時得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹的公理體系，即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。也標誌著歐氏幾何完善工作的終結。