幾何原本

《幾何原本》最初是手抄本，以後譯成了世界各種文字，它的發行量僅次於《聖經》而位居第二。19世紀初，法國數學家勒讓德，把歐幾里德的原作，用現代語言寫成了幾何課本，成為現今通用的幾何學教本。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造性於一體的不朽之作。並把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀——歐幾里得生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大。

它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。

歐幾里得所著的《原本》大約成書於公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。書中包含了5個“公設(Axioms)”、5條“一般性概念(Common Notions)”、23個定義(Definitions)和48個命題(Propositions)。在每一卷內容當中，歐幾里得都採用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然後再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。

而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。

照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最後做出結論。對後世產生了深遠的影響。它標誌著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。

兩千多年來，《幾何原本》一直是學習數學幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養，從而作出了許多偉大的成就。

1582年，來自義大利的天主教神父利瑪竇到中國傳教，帶來了15卷本的《原本》。1600年，明代數學家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識后，便經常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，並改名為《幾何原本》。后9卷是1857年由中國清代數學家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞力譯完的。

幾何原本最早傳入中國是1607年義大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552－1610）和徐光啟根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷）合譯的譯本，定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得來的。該譯本第一次把歐幾里德幾何學及其嚴密的邏輯體系和推理方法引入中國，同時確定了許多我們如今耳熟能詳的幾何學名詞，如點、直線、平面、相似、外似等。他們只翻譯了前6卷，后9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。

前六卷的翻譯工作

《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟(1562～1633)，字子先，上海吳淞人。他在加強國防、發展農業、興修水利、修改曆法等方面都有相當的貢獻，對引進西方數學和曆法更是不遺餘力。他認識義大利傳教士利瑪竇之後，決定一起翻譯西方科學著作。利瑪竇主張先譯天文曆法書籍，以求得天子的賞識。但徐光啟堅持按邏輯順序，先譯《幾何原本》。

對徐光啟而言，《幾何原本》有嚴整的邏輯體系，其敘述方式和中國傳統的《九章算術》完全不同。這種區別於中國傳統數學的特點，徐光啟有著比較清楚的認識。他還充分認識到幾何學的重要意義，他說“竊百年之後，必人人習之”。

他們於1606年完成前6卷的翻譯，1607年在北京印刷發行。

徐光啟翻譯中的重要貢獻

徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻在於確定了研究圖形的這一學科中文名稱為“幾何”，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”，徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”，而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”，音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡日本等國，影響深遠。

后9卷的翻譯工作

就在他們想繼續把《幾何原本》的后9卷翻譯完的時候，發生了一件意想不到的事情，就是徐光啟的父親不幸去世了。徐父去世的準確日子是如今。當時徐光啟儘管已經入教，但作為一名一直在傳統文化熏陶下成長起來的封建時代的知識分子，他還做不到那麼超脫，所以，他不得不開始忙於一系列繁雜的喪事。喪事差不多了，到了8月初，徐光啟請了假，便扶柩回了上海。這一去就是三年。

此時利瑪竇一直在北京，中間的確為《幾何原本》的事情他們曾經聯繫過一次，但那次主要是讓徐光啟想辦法在南方刊印。此後，他們再沒聯繫。三年後，即1610年5月11日，利瑪竇去世了。而徐光啟到了12月15日才回到北京。此時利瑪竇已於11月1日下葬。所以他們從1607年8月之後，再也未曾謀過面。

徐光啟於1611年夏天在修訂利瑪竇留下的《幾何原本》前六卷手稿時寫下了明顯含有不再續譯《幾何原本》后九卷內容意義的話，通過前面的分析，我們認為，並非由於當時《幾何原本》前六卷無人注意或沒有用處，而是由於當時的環境與以前大不相同了。龍華民執掌耶穌會之後，禁止傳教士向中國人傳授西方科技，很大程度上束縛了西方傳教士與中國人的接觸和交流。另外，與徐光啟比較熟悉的兩位神父龐迪我和熊三拔並不諳熟《幾何原本》內容，其數學水平與利瑪竇相去甚遠，這兩方面的因素綜合起來，是使徐光啟感慨太息，決定停止續譯的根本原因。

就因為這個意外，使《幾何原本》的后9卷的翻譯推遲了200多年，才由清代數學家李善蘭和英國人偉烈亞力合作完成。

李善蘭(1811～1882)，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，自幼喜歡數學。1852年到上海后，李善蘭與偉烈亞力相約，繼續完成徐光啟、利瑪竇未完成的事業，合作翻譯《幾何原本》后9卷，並與1856年完成此項工作。

至此，歐幾里得的這一偉大著作第一次完整地引入中國，對中國近代數學的發展起到了重要的作用。

清康熙帝時，編輯數學百科全書《數理精蘊》（公元1723年），其中收有《幾何原本》一書，但這是根據公元十八世紀法國幾何學教科書翻譯的，和歐幾里得的《幾何原本》差別很大。

註：《幾何原本》中有“公設”與“公理”之分，近代數學對此不再區分，都稱“公理”。

定義

1.點是沒有部分的

2.線只有長度而沒有寬度

3.一線的兩端是點

4.直線是它上面的點一樣地平放著的線

5.面只有長度和寬度

6.面的邊緣是線

7.平面是它上面的線一樣地平放著的面

8.平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度

9.當包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角

10.當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角的每一個叫做直角，而且稱這一條直線垂直於另一條直線。

11.大於直角的角叫鈍角

12.小於直角的角叫銳角

13.邊界是物體的邊緣

14.圖形是一個邊界或者幾個邊界所圍成的

15.圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等

16.這個點（指定義15中提到的那個點）叫做圓心。

17.圓的直徑是任意一條經過圓心的直線在兩個方向被圓截得的線段，且把圓二等分

18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同（接17）

19.直線形是由線段圍成的，三邊形是由三條線段圍成的，四邊形是由四條線圍成的，多邊形是由四條以上線段圍成的

20.在三邊形中，三條邊相等的，叫做等邊三角形；只有兩條邊相等的，叫做等腰三角形；各邊不等的，叫做不等邊三角形

21.此外，在三邊形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一個角是鈍角的，叫做鈍角三角形；有三個角是銳角的，叫做銳角三角形

22.在四邊形中，四邊相等且四個角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四邊不全相等的，叫做長方形；四邊相等，但角不是直角的，叫做菱形；對角相等且對邊相等，但邊不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其餘的四邊形叫做不規則四邊形

23.平行直線是在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線

公理

1.等於同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量減等量，其差相等；

4.彼此能完全重合的物體是全等的；

5.整體大於部分。

公設

1.過兩點能作且只能作一直線；

2.線段(有限直線)可以無限地延長；

3.以任一點為圓心，任意長為半徑，可作一圓；

4.凡是直角都相等；

5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交。（近代數學不區分公設，公理，統一稱為公理）

——以上選自《幾何原本》 第一卷《幾何基礎》

最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論，並最終誕生了非歐幾何。值得注意的是，第五公設既不能說是正確也不能說是錯誤，它所概括的是一種情況。非歐幾何則在推翻第五公設的前提下進行了另外情況的討論。

歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷。

最後講述立體幾何的內容以及立體幾何的相關體積、側面積、表面積的計算與證明。

從這些內容可以看出，目前屬於中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐氏幾何。

在幾何學上的影響和意義

在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的“根據”和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。《幾何原本》的誕生，標誌著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。並且《幾何原本》中的命題1.47，證明了在西方是歐幾里得最先發現的勾股定理，從而說明了歐洲是西方最早發現勾股定理的大洲。

論證方法上的影響

關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。

作為教材的影響

從歐幾里得發表《幾何原本》到如今，已經過去了兩千多年，儘管科學技術日新月異，由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。（牛頓的例子）

少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。

《原本》的缺憾

但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。

有些被歐幾里得作為不證自明的公理，卻難以自明。比如“第五平行公設”，歐幾里得在《幾何原本》一書中斷言：“通過已知直線外一已知點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行。 ”這個結果在普通平面當中尚能夠得到經驗的印證，那麼在無處不在的閉合球面之中(地球就是個大麴面)這個平行公理卻是不成立的。俄國人羅伯切夫斯基和德國人黎曼由此創立了非歐幾何學。

徐光啟在評論《幾何原本》時說過：“此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。”其大意是：讀《幾何原本》的好處在於能去掉浮誇之氣，練就精思的習慣，會按一定的法則，培養巧妙的思考。所以全世界人人都要學習幾何。徐光啟同時也說過：“能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不可學。”

愛因斯坦更是認為：“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家。”

歐幾里得（Euclid，約公元前330—公元前275年）是古希臘著名數學家，被稱為“幾何之父”他除了著有《幾何原本》，還著作了《已知數》、《糾錯集》、《圓錐曲線論》、《曲面軌跡》、《觀測天文學》等。遺憾的是，除了《幾何原本》以外，這些都沒有流傳下來，而是消失在歷史的長流之中了。

1、托勒密國王向歐幾里得討教學習幾何學的捷徑，歐幾里得答道：“幾何無王者之道。”意思是說，在幾何學里，沒有一步登天的捷徑，只有一步一個腳印、踏踏實實地學習，才能學有所成。這句話成為千古傳頌的箴言。

2、一個學生剛開始學習第一個命題，就問歐幾里得學了幾何之後將得到些什麼。歐幾里得對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。”

這兩則故事，與他的光輝著作一樣，固有高深的含義。