複合函數
數學定理
設函數y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那麼對於Mx∩Du內的任意一個x經過u；有唯一確定的y值與之對應，則變數x與y之間通過變數u形成的一種函數關係，這種函數稱為複合函數(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變數，u為中間變數，y為因變數（即函數）。
設y是u的函數 ，u是x的函數，如果φ(x)的值全部或部分在f(x)的定義域內，則y通過u成為x的函數，記作，稱為由函數 與 複合而成的複合函數。
如等都是複合函數。
而就不是複合函數，因為任何x都不能使y有意義。由此可見，不是任何兩個函數放在一起都能構成一個複合函數。
複合函數通俗地說就是函數套函數，是把幾個簡單的函數複合為一個較為複雜的函數。複合函數中不一定只含有兩個函數，有時可能有兩個以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則函數是x的複合函數，u、v都是中間變數。
若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則複合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。
求函數的定義域主要應考慮以下幾點：
⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；
⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）；
⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大於0；
⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。
⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變數的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。
⑹分段函數的定義域是各段上自變數的取值集合的並集。
⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變數的要求
⑻對於含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函數的定義域為非空集合。
⑼對數函數的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。
⑽三角函數中的切割函數要注意對角變數的限制。
設y=f(u)的最小正周期為,μ=φ(x)的最小正周期為,則y=f(μ)的最小正周期為，任一周期可表示為(k屬於).
依y=f(u)，μ=φ(x)的單調性來決定。即“增+增=增；減+減=增；增+減=減；減+增=減”，可以簡化為“同增異減”。
判斷複合函數的單調性的步驟如下：
⑴求複合函數的定義域；
⑵將複合函數分解為若干個常見函數（一次、二次、冪、指、對函數）；
⑶判斷每個常見函數的單調性；
⑷將中間變數的取值範圍轉化為自變數的取值範圍；
⑸求出複合函數的單調性。
例如：討論函數y= 的單調性。
解：函數定義域為R；
令u=x-4x+3,y=0.8；
u=x-4x+3在（-∞,2]上是減函數，在[2,+∞）上是增函數；
∴ 函數y= 在（-∞,2]上是增函數，在[2,+∞）上是減函數。
複合函數求導的前提：複合函數本身及所含函數都可導。
法則1：設u=g(x)，對f(u)求導得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
法則2：設u=g(x),a=p(u)，對f(a)求導得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
1、求：函數f(x)=(3x+2)+3的導數。
解：設u=g(x)=3x+2；
f(u)=u+3；
f'(u)=3u=3(3x+2)；
g'(x)=3；
；
2、求 的導數。
解：設u=g(x)=x-4,a=p(u)=u+25
；
= ；
p'(u)=2u=2(x-4)；
g'(x)=1；
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)= = .
