對數函數
數學知識
一般地，對數函數以冪（真數）為自變數，指數為因變數，底數為常量的函數。
對數函數是6類基本初等函數之一。其中對數的定義：
如果a=N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
一般地，函數y=logax（a>0，且a≠1）叫做對數函數，也就是說以冪（真數）為自變數，指數為因變數，底數為常量的函數，叫對數函數。
其中x是自變數，函數的定義域是（0，+∞），即x>0。它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=ay。因此指數函數里對於a的規定，同樣適用於對數函數。
“log”是拉丁文logarithm（對數）的縮寫，讀作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。
在實數域中，真數式子沒根號那就只要求真數式大於零，如果有根號，要求真數大於零還要保證根號里的式子大於等於零（若為負數，則值為虛數），底數則要大於0且不為1。
對數函數
通常我們將以10為底的對數叫常用對數（common logarithm),並把log10N記為lgN。另外，在科學計數中常使用以無理數e=2.71828···為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數（natural logarithm)，並且把logeN 記為In N。根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關係：
當時，由指數函數與對數函數的這個關係，可以得到關於對數的如下結論：
在實數範圍內，負數和零沒有對數；
以a為底1的對數為0(a為常數) 恆過點（1，0）。
有理和無理指數
如果 n是正整數, 表示 的 個因子的加減:
但是，如果是 不等於1的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數（參見冪）。類似的，對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數，有一個對數函數和一個指數函數，它們互為反函數。
對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛。
16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。
德國的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左邊任兩數的積（商），只要先求出其代表（指數）的和（差），然後再把這個和（差）對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積（商），可惜史提非並未作進一步探索，沒有引入對數的概念。
納皮爾對數值計算頗有研究。他所製造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯繫。在他的1619年發表《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，後人稱為 納皮爾對數，記為Nap．㏒x，它與自然對數的關係為：
由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。
瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發現了對數，可能比納皮爾較早，但發表較遲（1620）。
英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。
對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，簡化了行星軌道運算問題。正如科學家伽利略（1564-1642）說：「給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙」。又如十八世紀數學家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。
最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫真數，0.3010叫做假數，真數與假數對列成表，故稱對數表。後來改用假數為對數」。
我國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。1854年，英國的數學家艾約瑟（1825-1905）看到這些著作后，大為嘆服。
當今中學數學教科書是先講「指數」，后以反函數形式引出「對數」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年，J．威廉（1675-1749）在給G.威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小分析尋論》（1748）中明確提出對數函數是指數函數的逆函數，和21世紀的教科書中的提法一致。
定義域求解：對數函數y=logax 的定義域是{x 丨x>0}，但如果遇到對數型複合函數的定義域的求解，除了要注意大於0以外，還應注意底數大於0且不等於1，如求函數y=logx（2x-1）的定義域，需同時滿足x>0且x≠1
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為 {x 丨x>1/2且x≠1}
值域：實數集R，顯然對數函數無界；
定點：對數函數的函數圖像恆過定點（1，0）；
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數；
0減函數；
奇偶性：非奇非偶函數
周期性：不是周期函數
對稱性：無
最值：無
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正，底真異對數負。解釋如下：
對數函數
也就是說：若 （其中a>0,a≠1，b>0）
當0
當a>1, b>1時，;
當01時，;
當a>1, 0
e的定義：設
方法一：
特殊地，當時，
方法二：
設，兩邊取對數
兩邊對求導：
特殊地，當時
一般地，如果的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要>0且≠1 真數>0
並且，在比較兩個函數值時：
如果底數一樣，真數越大，函數值越大。（a>1時）
如果底數一樣，真數越小，函數值越大。（0
當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那麼：
推導：設,所以
兩邊取對數，則有即
又因為所以
（1）常用對數：（10為底數）
（2）自然對數：（e為底數）
e為無限不循環小數，通常情況下只取
同底的對數函數與指數函數互為反函數。
當時，
關於y=x對稱。對數函數的一般形式為 ，它實際上就是指數函數的反函數(圖象關於直線y=x對稱的兩函數互為反函數），可表示為x=a。因此指數函數里對於a的規定（a>0且a≠1），右圖給出對於不同大小a所表示的函數圖形：關於X軸對稱、當a>1時，a越大，圖像越靠近x軸、當0
可以看到，對數函數的圖形只不過是指數函數的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
基本信息
- 中文名
- 對數函數
- 外文名
- Logarithmic Function
- 提出時間
- 16世紀末
- 別名
- 對函數
- 表達式
- y=logax（a>0 & a≠1）
- 提出者
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 代數學 自然科學 解析幾何
- 特點
- 底大下沉
- 函數零點
- x=1
- 函數最值
- 無
- 函數對稱軸
- 無
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