自然對數

在1614年開始有對數概念，約翰·納皮爾以及Jost Bürgi（英語：Jost Bürgi）在6年後，分別發表了獨立編製的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。1742年William Jones（英語：William Jones (mathematician)）才發表了冪指數概念。按後來人的觀點，Jost Bürgi的底數1.0001相當接近自然對數的底數e，而約翰·納皮爾的底數0.99999999相當接近1/e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs（英語：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編製。

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英語：Alphonse Antonio de Sarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數.

e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”。

人們可以從自然對數最早是怎麼來的來說明其有多“自然”。以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發明了對數這個工具后，乘法可以化成加法，即：。

當然後來數學家對這個數做了無數研究，發現其各種神奇之處，在對數表中出現並非偶然，而是相當自然或必然的。因此就叫它自然對數底了。

常數e的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

自然對數的底e是由一個重要極限給出的。我們定義：當n趨於無窮大時，.

e是一個無限不循環小數，其值約等於2.718281828459…，它是一個超越數。

當自然對數 中真數為連續自變數時，稱為對數函數，記作（x為自變數，y為因變數）。

歷史上自然對數y=lnx的產生要比e要早些，當時人們對於微分和不定積分的求法已經熟知，並且很早就得到了冪函數的不定積分表達式。但對於n=-1的情況，因n=-1代入冪函數的不定積分表達式中將使分母為0，所以該如何求原函數，或者說到底該如何積分，數學家們採用了多種方法均無法得到滿意的回答。

例如採用分部積分法，

兩邊減掉，將得到0=1的結論。

於是數學家們想到了利用積分變限函數來給出的原函數，即定義一個新的函數

根據這個定義立刻可以知道。並且根據可導必連續的性質，lnx在(0,+∞)上處處連續、可導。其導數為1/x>0，所以在(0,+∞)單調增加。又根據反常積分和分別發散至可知，函數的值域為R。雖然這與現代對數函數的運演演算法則和性質相符，但當時人們並沒有意識到這就是對數函數，並且以e為底。

接下來人們便開始考慮y=lnx的反函數的問題。設y=lnx的反函數為x=f(y)，由反函數的求導法則可知，

如果用x來表示自變數，y來表示因變數，那麼自然對數的反函數y=f(x)滿足一個非常重要的性質：

即這個函數求導后仍得到它本身，並且當x=0時，y=1，我們把這個函數寫作。

由反函數的性質可知y=exp(x)是定義在R上的單調遞增並且處處連續、可微的函數，其值域為(0,+∞)。由於exp(x)求導后得到它自身並且exp(0)=1，我們便可不斷地重複該步驟，通過冪級數的知識可知exp(x)能在R上展開成麥克勞林級數：

那為什麼後來人們會發現呢？這是因為當人們在求指數函數y=a的導數時，採用了這樣的方法：

根據複合函數的求導法則，。當a=徠e時，。上文說過，在發明自然對數時，人們不知道y=lnx與e之間的關係，所以不知道lne=1。但是，利用，結合歸結原則有，於是：所以：由於與求導以後都得到，根據原函數的性質，，C為積分常數。將x=0代入等式兩端，有1=1+C，C=0，即證明了。

數學家們才恍然大悟，原來與有著千絲萬縷的聯繫，並且知道了是對數函數的一種，其底為e。又利用，得到了

令x=1，則又得到了一個關於e的定義式：

當然，根據，也可以將e定義為使的x的取值。

數學講求規律和美學，可是圓周率π和自然對數e那樣基本的常量卻那麼混亂，就如同兩個“數學幽靈”。人們找不到π和e的數字變化的規律，可能的原因：例如：人們用的是十進位，古人掰指頭數數，因為是十根指頭，所以定下了十進位，而二進位才是宇宙最樸素的進位，也符合陰陽理論，1為陽，0為陰。再例如：人們把π和e與那些規整的數字比較，所以覺得e和π很亂，因此涉及“參照物”的問題。那麼，如果把π和e都換算成最樸素的二進位，並且把π和e這兩個混亂的數字相互比較，就會發現一部分數字規律，e的小數部分的前17位與π的小數部分的第5-21位正好是倒序關係，這麼長的倒序，或許不是巧合。

說明[ ]符號內為17位倒序區。

二進位π取部分值為11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011

二進位e取部分值為10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101

17位倒序區的意義：或許暗示e和π的發展初期可能按照某種彼此相反的規律發展，之後e和π都脫離了這個規律。但是，由於2進位只用0和1來表示數，因而出現相同，倒序相同，柵欄重排相同的情況不足為奇，雖然這種情況不一定是巧合，但思辨性結論不是科學結論，不應該作為科學證據使用。

問題：求複數的對數，規定為的幅角主值。

解答：

設有一複數，其通過指數函數將映射為。

∴

由複數相等的定義，得到：

所以，即

記為對數函數，可以看到在複數中對數函數是多值函數（即一個自變數對應多個因變數），並且有無數個分支。特別地，當k=0時，稱為對數函數的主值支，此時用記號來表示。

即w的實部為z的模取自然對數，虛部為z的幅角主值。這就是當真數為複數時的對數運算公式。注意，因為實部需要對z的模取自然對數，因此r≠0。我們知道在複平面上只有0這個複數的模為0，其他任何複數的模都大於0，所以在複數域中，除了z=0以外所有的複數都可以求對數。

例：求ln(-1)

解：-1=cosπ+isinπ，其模為1，幅角主值為π。代入公式得：

由此可見，即，這就是歐拉恆等式。