基本初等函數
經過有限次四則運算和複合運算所得到的函數
初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和複合運算所得到的函數。基本初等函數和初等函數在其定義區間內均為連續函數。不是初等函數的函數，稱為非初等函數，如狄利克雷函數和黎曼函數。目前有兩種分類方法：數學分析有六種基本初等函數，高等數學只有五種。
數學分析將基本初等函數歸為六類：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、常數函數。
下面一一介紹這些函數。
一般地，形如y=x(α為有理數）的函數，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函數稱為冪函數。例如函數y=x 、y=x、y=x、y=x（註：y=x=1/x y=x時x≠0）等都是冪函數。一般形式如下：
（ α為常數，且可以是自然數、有理數，也可以是任意實數或複數。）
冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。
冪函數取正值
當α>0時，冪函數y=x有下列性質：
a、圖像都經過點（1,1）(0,0）；
b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是增函數；
c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0；
冪函數取負值
當α<0時，冪函數y=x有下列性質：
a、圖像都通過點（1,1）；
b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（內容補充：若為X易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函數亦是如此）
c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變數趨近0，函數值趨近+∞，自變數趨近+∞，函數值趨近0。
冪函數取零
當α=0時，冪函數y=x有下列性質：
y=x的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。
（a>0, a≠1）
當a>1時，指數函數對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0
作為實數變數x的函數，的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。
有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性地用於形如（k屬於R）的函數，這裡的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函數。
如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。
在函數中可以看到：
（1）指數函數的定義域為R，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
（2）指數函數的值域為。
（3）函數圖形都是上凹的。
（4） a>1時，則指數函數單調遞增；若0
（5）可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過
程中（不等於0）函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
基本初等函數
（6）函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸，並且永不相交。
（7）函數總是通過（0，1）這點,(若 ,則函數定過點(0,1+b))
（8）指數函數無界。
（9）指數函數是非奇非偶函數
（10）指數函數具有反函數，其反函數是對數函數，它是一個多值函數。
一般地，函數y=logax（a>0，且a≠1）叫做對數函數，也就是說以冪（真數）為自變數，指數為因變數，底數為常量的函數，叫對數函數。
其中x是自變數，函數的定義域是（0，+∞），即x>0。它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a。因此指數函 數里對於a的規定，同樣適用於對數函數。一般形式如下：
（a>0, a≠1， x>0,特別當α=e時，記為y=ln x）
定義域求解：對數函數y=logax 的定義域是{x 丨x>0}，但如果遇到對數型複合函數的定義域的求解，除了要注意大於0以外，還應注意底數大於0且不等於1，如求函數y=logx（2x-1）的定義域，需同時滿足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為 {x 丨x>1/2且x≠1}。
值域：實數集R，顯然對數函數無界；
定點：對數函數的函數圖像恆過定點（1，0）；
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數；0
奇偶性：非奇非偶函數
周期性：不是周期函數
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正，底真異對數負。解釋如下：
也就是說：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）
當00;
當a>1, b>1時，y=logab>0;
當01時，y=logab<0;
當a>1, 0
餘弦函數：y =cos x
三角函數是數學中常見的一類關於角度的函數。也就是說以角度為自變數，角度對應任意兩邊的比值為因變數的函數叫三角函數，三角函數將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級限或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。
常見的三角函數包括正弦函數、餘弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數、正割函數、餘割函數、正矢函數、半正矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。
三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。
常見三角函數主要有以下 6 種：
正弦函數：y =sinx
正切函數：y =tan x
餘切函數：y =cot x
正割函數：y =sec x
餘割函數：y =csc x
此外，還有正矢、余矢等罕用的三角函數。
反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x，反餘弦arccos x，反正切arctan x，反餘切arccot x，反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱，各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割，反餘割為x的角。
它並不能狹義的理解為三角函數的反函數，是個多值函數。三角函數的反函數不是單值函數，因為它並不滿足一個自變數對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關於函數y=x對稱。歐拉提出反三角函數的概念，並且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數。
主要有以下 6 個：
反正弦函數：y = arcsin x
基本初等函數
反餘弦函數：y = arccos x
反正切函數：y = arctan x
反餘切函數：y = arccot x
反正割函數：y = arcsec x
反餘割函數：y = arccsc x
在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數f(x)=4，因為f映射任意的值到4，因此f是一個常數。更一般地，對一個函數f: A→B，如果對A內所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那麼，f是一個常數函數。
請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為A中沒有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。
對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式。下列為一般形式：
y=C (C是常數)
常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。
下面這些是等價的：
f: A→B是一個常數函數。對所有函數g, h: C→A, fog=foh（“o”表示複合函數）。 f與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。
根據定義，一個函數的導函數度量自變數的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。例如：
如果f是一個定義在某一區間、變數為實數的實數函數，那麼當且僅當f的導函數恆為零時，f是常數。對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定義域是一個格，那麼f一定是一個常數函數。
常數函數的其他性質包括：
任一定義域和陪域相同的常數函數是等冪的。任一拓撲空間上的常數是連續的。在一個連通集合中，當且僅當f是常數時，它是局部常數。
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