拓撲空間

拓撲空間是一個集合和其上定義的拓撲結構組成的二元組。的元素通常稱為拓撲空間 的點。而拓撲結構一詞涵蓋了開集，閉集，鄰域，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間作出若干種等價的定義。

拓撲空間作為對象，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。

設是一個集合，是一些的子集構成的族，則被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：

1.空集和屬於，

2.中任意多個元素的並仍屬於，

3.中有限個元素的交仍屬於。

這時，中的元素稱為點（point），中的元素稱為開集（openset）。我們也稱是上的一個拓撲。

• 實數集構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多“奇怪”的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。

• 更一般的，n維歐幾里得空間構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。

• 任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這種情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。

• 任何局部域都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。

• 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lowerlimittopology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。

• 流形都是一個拓撲空間。

• 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的圖集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。

• 每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。

• 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對或者來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。

• 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。

• 泛函分析中的許多運算元集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂。

• 有限補拓撲。設是一個集合。的所有有限子集的補集加上空集，構成上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的拓撲。

• 可數補拓撲。設是一個集合。的所有可數子集的補集加上空集，構成上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。

• 如果是一個序數，則集合是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間生成，此處和是的元素。

• 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。

• 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。

• 商拓撲可以被如下地定義出來：若是一個拓撲空間，是一個集合，如果是一個滿射，那麼獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，當且僅當它的逆向也是開的。可以利用自然投影確定下上的等價類，從而給出拓撲空間上的一個等價關係。

• Vietoris拓撲

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設為一個拓撲空間。

詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

拓撲不可區分性

中兩個點稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：

對中每個開集，或者同時包含兩者，或者同時不包含它們。

x的鄰域系和y的鄰域系相同。

，且。

可分的稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。

第一可數稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的局部基。

第二可數稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。

連通稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。

局部連通稱為局部連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。

完全不連通稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。

道路連通稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點和，存在從到的道路，也即，存在一個連續映射，滿足且。道路連通的空間總是連通的。

局部道路連通稱為局部道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。

單連通稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續映射與常數映射同倫。

可縮稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。

超連通X稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。

極連通稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。

平庸的稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。

緊性稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。

林德洛夫性質稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。

仿緊稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。

可數緊稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。

列緊稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。

偽緊稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函數都有界。

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群乃是一個拓撲空間配上連續映射（群乘法）及（逆元），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

譜空間（spectralspace）上的序結構。

特殊化預序：定義。常見於計算機科學。

主要有下面幾條。

空間內任何兩個不同的點都各有一個鄰域不含另一點。

（分離公理)空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。

空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。

對於空間內每一點及不含的任一閉集，存在連續映射，使得且對內每一點。

空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。

滿足分離公理的空間叫空間。滿足分離公理的空間叫空間或豪斯多夫空間。一個空間如果還滿足正則分離公理或全正則分離公理或正規分離公理，則分別稱為正則空間，全正則空間和正規空間。各空間之間的蘊含關係可用“崊”表示如下：正規空間崊全正則空間崊正則空間崊空間崊空間。度量空間以及下述的緊空間和放緊空間都是正規空間。