代數幾何

代數幾何是數學的一個分支，是將抽象代數，特別是交換代數，同幾何結合起來。它可以被認為是對代數方程系統的解集的研究。代數幾何以代數簇為研究對象。

代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯繫，如複分析、數論、解析幾何、微分幾何、交換代數、代數群、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。

用代數的方法研究幾何的思想，在繼出現解析幾何之後，又發展為幾何學的另一個分支，這就是代數幾何。代數幾何學研究的對象是平面的代數曲線、空間的代數曲線和代數曲面。

代數幾何學的興起，主要是源於求解一般的多項式方程組，開展了由這種方程組的解答所構成的空間，也就是所謂代數簇的研究。解析幾何學的出發點是引進了坐標系來表示點的位置，同樣，對於任何一種代數簇也可以引進坐標，因此，坐標法就成為研究代數幾何學的一個有力的工具。

代數幾何的研究是從19世紀上半葉關於三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關於橢圓積分的研究中，發現了橢圓函數的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎。

復運用黎曼曲面的概念，黎曼定義了代數曲線的一個最重要的數值不變數：虧格。這也是代數幾何歷史上出現的第一個絕對不變數。並首次考慮了虧格 相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，並且發現這個參量簇的維數應該是，雖然黎曼沒有能嚴格證明它的存在性。

在黎曼之後，德國數學家諾特等人用幾何方法獲得了代數曲線的許多深刻的性質。諾特還對代數曲面的性質進行了研究。他的成果給以後義大利學派的工作建立了基礎。

從19世紀末開始，出現了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的義大利學派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學派。他們對複數域上的低維代數簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認為是代數幾何中最漂亮的理論之一的代數曲面分類理論。但是由於早期的代數幾何研究缺乏一個嚴格的理論基礎，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補。

20世紀以來代數幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎的建立。20世紀30年代，扎里斯基和范·德·瓦爾登等首先在代數幾何研究中引進了交換代數的方法。在此基礎上，韋伊在40年代利用抽象代數的方法建立了抽象域上的代數幾何理論，然後20世紀50年代中期，法國數學家塞爾把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這個為格羅騰迪克隨後建立概型理論奠定了基礎，他在討論班的講義《代數幾何基礎》（EGA,SGA,FGA）成為該領域的聖經。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概型的概念是代數簇的推廣，它允許點的坐標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中存在冪零元。

近年來，人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應用代數幾何工具，這預示著抽象的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。

一個代數簇V的定義方程中的係數以及V中點的坐標通常是在一個固定的域k中選取的，這個域就叫做V的基域。當V為不可約時（即如果V不能分解為兩個比它小的代數簇的並）,V上所有以代數式定義的函數全體也構成一個域，叫做V的有理函數域，它是k的一個有限生成擴域。通過這樣的一個對應關係，代數幾何也可以看成是用幾何的語言和觀點進行的有限生成擴域的研究。

代數簇V關於基域k的維數可以定義為V的有理函數域在k上的超越次數。一維的代數簇叫做代數曲線，二維的代數簇叫做代數曲面。

代數簇的最簡單的例子是平面中的代數曲線。例如，著名的費馬猜想（又稱費馬大定理）就可以歸結為下面的問題：在平面中，由方定義的曲線（稱為費馬曲線）當時沒有坐標是非零的有理數點。

另一方面，下面的齊次方程組在複數域上的射影空間中定義了一條曲線。這是一條橢圓曲線。

人們對代數簇的研究通常分為局部和整體兩個方面。局部方面的研究主要是用交換代數方法討論代數簇中的奇異點以及代數簇在奇異點周圍的性質。

作為奇異點的例子，可以考察由方程x2y3所定義的平面曲線中的原點(0,0)。這是一個歧點。不帶奇異點的代數簇稱為非奇異代數簇。數學家広中平祐在1964年證明了基域k的特徵為0時的奇點解消定理：任意代數簇都是某個非奇異代數簇在雙有理映射下得像。

一個代數簇V1到另一個代數簇V2的映射稱為雙有理映射，如果它誘導有理函數域之間的同構。兩個代數簇V1，V2稱為雙有理等價的，如果在V1中有一個稠密開集同構於V2的一個稠密開集。這個條件等價於V1和V2的有理函數域同構。由於這個等價關係，代數簇的分類常常可以歸結為對代數簇的雙有理等價類的分類。

當前代數幾何研究的重點是整體問題，主要是代數簇的分類以及給定的代數簇中的子簇的性質。同調代數的方法在這類研究中起著關鍵的作用。

代數幾何中的分類理論是這樣建立的：對每個有關的分類對象（這樣的分類對象可以是某一類代數簇，例如非奇異射影代數曲線，也可以是有關的代數簇的雙有理等價類），人們可以找到一組對應的整數，稱為它的數值不變數。例如在射影代數簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變數。然後試圖在所有具有相同的數值不變數的分類對象組成的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的分類對象也在相應的代數結構中變化。

建立有較完整的分類理論的只有代數曲線、代數曲面的一部分，以及少數特殊的高維代數簇。現在研究得最深入的是代數曲線和阿貝爾簇的分類。

與子簇問題密切相關的有著名的霍奇猜想：設X是複數域上的一個非奇異射影代數簇，p為小於X的維數的一個正整數。則X上任一型為(p,p)的整上同調類中都有代數代表元。

用現代的語言，緊緻的黎曼曲面就一一對應於抽象的射影代數曲線。黎曼還首次考慮了虧格g相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，並發現這個參量簇的維數應當是3g-3，雖然黎曼未能嚴格證明它的存在性。黎曼還應用解析方法證明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,這裡D是給定的黎曼曲面上的除子。隨後他的學生G.羅赫在這個不等式中加入一項，使它變成了等式。這個等式就是著名的F.希策布魯赫和A.格羅騰迪克的黎曼-羅赫定理的原始形式（見代數函數域）。

概型理論的另一個重要意義是把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以應用代數幾何中大量的概念、方法和結果。這種應用的兩個典型的例子就是：①P.德利涅於1973年把韋伊關於ζ函數的定理推廣到了有限域上的任意代數簇，即證明了著名的韋伊猜想，正是利用了格羅騰迪克的概型理論。②G.法爾廷斯在1983年證明了莫德爾猜想。這個結果的一個直接推論是費馬方程xn+yn=1在n≥4時最多只有有限多個非零有理解，從而使費馬猜想的研究獲得了一個重大突破。

在另一方面，20世紀以來複數域上代數幾何中的超越方法也得到了重大的進展，例如G.-W.德·拉姆的解析上同調理論，W.V.D.霍奇的調和積分論的應用，以及小平邦彥和D.C.斯潘塞的變形理論以及P.格里菲思的一些重要工作等。

周煒良對20世紀前期的代數幾何發展作出了許多重要的貢獻。他建立的周環、周簇、周坐標等概念對代數幾何的許多領域的發展起了重要的作用。他還證明了著名的周定理：若一個緊緻復解析流形是射影的，則它必定是代數簇。

20世紀後期，在古典的複數域上低維代數簇的分類理論方面也取得了許多重大進展。在代數曲線的分類方面，由於D.B.芒福德等人的工作，人們對代數曲線參量簇 Mg已經有了極其深刻的了解。芒福德在60年代把格羅騰迪克的概型理論用到古典的不變數理論上，從而創立了幾何不變數理論，並用它證明了Mg的存在性以及它的擬射影性。人們已經知道 Mg是一個不可約代數簇，而且當g≥24時是一般型的。對Mg的子代數簇的性質也開始有所了解。

代數曲面的分類理論也有很大的進展。例如,60年代中期小平邦彥徹底弄清了橢圓曲面的分類和性質；1976年，丘成桐和宮岡洋一同時證明了一般型代數曲面的一個重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陳數。同時，三維或更高維代數簇的分類問題也開始引起人們越來越大的興趣。

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