抽象代數

抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。由於代數可處理實數與複數以外的物集，例如向量(vector)、矩陣（matrix）、變換（transformation）等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容升華出來，並因此而達到更高層次，這就誕生了抽象代數。抽象代數，包含有群（group）、環（ring）、Galois理論、格論等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。

抽象代數作為數學的一門學科，主要研究對象是代數結構，比如群、環、域、模、矢量空間和代數。這些代數結構中，有的在19世紀就已經被給出了正式的定義。事實上，對抽象代數的研究是應數學更嚴格化的要求而發展起來的。對抽象代數的研究還使人們形成了對全部數學和自然科學的基礎性邏輯假設（的複雜性）的整體認識，現今，幾乎沒有那一個數學分支用不到代數學的結論。此外，隨著抽象代數的發展，代數學家們發現：明顯不同的邏輯結構通過類比可以得到一個很簡練的由公理構成的核心。這對深入研究代數的數學家是有益的，並賦予他們更大的本領。

“抽象代數”這詞，是為了與“初等代數”區別開，後者教授公式和代數表達式的運算方法，其中有實數、複數和未知項。20世紀初，抽象代數有時也稱為現代代數，近世代數。

在泛代數中有時用抽象代數這一稱呼，但作者大多簡單地稱作“代數”。

被譽為天才數學家的Galois(1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。Galois群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。Galois群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開闢了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。

1843年，Hamilton發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數。1857年，Cayley設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定(與其餘假定是兼容的)，就能研究出許多種代數體系。

1870年，Kronecker給出了有限Abel群的抽象定義；Dedekind開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象得體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；Dedekind和Kronecker創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開創了抽象代數學。

有一位傑出女數學家被公認為抽象代數奠基人之一，被譽為"代數女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生於德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學，1907年在數學家哥爾丹指導下獲博士學位。Noether的工作在代數拓撲學、代數數論、代數幾何的發展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在格丁根大學的就職論文中，討論連續群(Lie群)下不變式問題，給出Noether定理，把對稱性、不變性和物理的守恆律聯繫在一起。1920~1927年間她主要研究交換代數與交換算術。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年寫出的<<整環的理想理論>>是交換代數發展的里程碑。建立了交換Noether環理論，證明了准素分解定理。1926年發表<<代數數域及代數函數域的理想理論的抽象構造>>，給Dedekind環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。Noether的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的系統理論，一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分佈，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。Noether當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交換代數與非交換算術。她把表示理論、理想理論及模理論統一在所謂“超復系”即代數的基礎上。后又引進交叉積的概念並用決定有限維Galois擴張的布饒爾群。最後導致代數的主定理的證明，代數數域上的中心可除代數是循環代數。

1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的bool代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和Bourbaki學派；1955年，Cartan等建立了同調代數理論。

被譽為天才數學家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。

1920~1927年間她主要研究交換代數與「交換算術」。1916年後，她開始由古典代數學向抽象代數學過渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。建立了交換諾特環理論，給戴德金環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的系統理論。

1927－1935年，諾特研究非交換代數與「非交換算術」。后又引進交叉積的概念並用決定有限維枷羅瓦擴張的布饒爾群。

諾特的思想通過她的學生范．德．瓦爾登的名著<<近世代數學>>得到廣泛的傳播。她的主要論文收在<<諾特全集>>(1982)中。

1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。

數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要的若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。

中國數學家在抽象代數學的研究始於30年代。當中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

抽象代數學對於全部現代數學和一些其它科學領域都有重要的影響。抽象代數學隨著數學中各分支理論的發展和應用需要而得到不斷的發展。經過伯克霍夫、馮·諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數學的地位。而自20世紀40年代中葉起，作為線性代數的推廣的模論得到進一步的發展併產生深刻的影響。泛代數、同調代數、範疇等新領域也被建立和發展起來。

抽象代數包含有群（group）、環（ring）、Galois理論、格論等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科

中國數學家在抽象代數學的研究始於30年代。當中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

現代數學的基礎課程正在更新。50年代數學系的教學計劃，以“高等微積分”、“高等代數”、“高等幾何”為主體。時至今日，人們認為光靠這“老三高”已不夠用了，應該發展“新三高”，即抽象代數、拓撲學和泛函分析。現代數學理論是由這三根支柱撐著的。