拓撲學
由幾何學與集合論里發展出來的學科
拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。
拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。拓撲學是由幾何學與集合論里發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些辭彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茨，他在17世紀提出“位置的幾何學”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的說法。萊昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。
拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了，後來在拓撲學的形成中占著重要的地位。
七橋問題
有關圖論研究的熱點問題。18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯繫起來（如左圖上）。有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。後來大數學家歐拉把它轉化成一個幾何問題（如左圖下）——一筆畫問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數目不是0個就是2個（連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有要麼在兩端）
歐拉定理
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題，又稱四色猜想。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯。格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時發現：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，做了100億種判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
Topology原意為地貌，起源於希臘語Τοπολογ。形式上講，拓撲學主要研究“拓撲空間”在“連續變換”下保持不變的性質。簡單的說，拓撲學是研究連續性和連通性的一個數學分支。
在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的----從拓撲學的角度看，它們的拓撲結構是完全一樣的。
而游泳圈的表面和足球的表面則有不同的拓撲性質，比如游泳圈中間有個“洞”。在拓撲學中，足球所代表的空間叫做球面，游泳圈所代表的空間叫環面，球面和環面是“不同”的空間。
莫比烏斯曲面
拓撲學起初叫形勢分析學，這是德國數學家萊布尼茨1679年提出的名詞。歐拉在1736年解決了七橋問題，1750年發表了多面體公式；高斯1833年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。Topology這個詞是由J.B.利斯廷提出的（1847），源自希臘文τόπος和λόγος（“位置”和“研究”）。這是拓撲學的萌芽階段。
1851年，德國數學家黎曼在複變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。
組合拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於複函數的單值化和關於微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的。他的主要興趣在流形。在1895～1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變數：基本群、同調、貝蒂數、撓係數，探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動康托爾從1873年起系統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。
最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇。他在19
06年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標誌著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。
點集拓撲
歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法，許多重要的幾何現象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創了不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到了應有的標準。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數與撓係數的拓撲不變性。
隨著抽象代數學的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。如維數、歐拉數，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結了當時的同調論，后寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對於代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。直到今天，同調論所提供的不變數仍是拓撲學中最易於計算和最常用的不變數。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，一維同倫群就是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數的另一種過渡，其幾何意義比同調群更明顯，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學的發展，產生了豐富多彩的理論和方法。1950年法國數學家塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，在同倫群的計算上取得突破。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生了K理論，以及其他幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡。儘管幾何意義各不相同，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清了，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。
微分拓撲是研究微分流形與可微映射的拓撲學。隨著代數拓撲和微分幾何的進步，在30年代重新興起。H·惠特尼（H. Whitney）在1935年給出了微分流形的一般定義，並證明它總能嵌入高維歐氏空間。為了研究微分流形上的向量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與同調（示性類）和同倫問題聯繫起來了。
1953年R·托姆（Rene Thom）的配邊理論開創了微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，許多困難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解決，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。1956年米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。隨後，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段線性流形（piecewise linear manifold）這三個範疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數化。
突出的領域如流形的上述三大範疇之間的關係以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間存在不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，區別於代數味很重的同倫論。
2016年10月，科學家打開了一個未知的世界，物質可以以一種奇怪的狀態存在，他們利用先進的數學方法來研究不同尋常物質狀態，如超導體、超流體或磁膜等。決定性的發現是三位獲獎者使用了物理拓撲的概念，給他們後來的發現起到了決定性作用。
三位科學家採用拓撲學作為研究工具，這一舉動在當時讓同行感到吃驚。在上世紀70年代早期，當時的理論認為超導現象和超流體現象不可能在薄層中產生，而Michael Kosterlitz 和David Thouless推翻了這一理論。他們證明了超導現象能夠在低溫下產生，並闡釋了超導現象在較高溫度下也能產生的機制——相變。
連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用。
拓撲學與微分幾何學有著血緣關係，它們在不同的層次上研究流形的性質。為了研究黎曼流形上的測地線，H.M.摩爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論（摩爾斯理論），把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，並發展成大範圍變分法。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，證明了典型群的同倫群的博特周期性定理，並啟示了處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給E·嘉當的整體微分幾何學提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，對拓撲學也十分重要。纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規範場理論提供了現成的數學框架，猶如20世紀初黎曼幾何學對於A.愛因斯坦廣義相對論的作用。規範場的研究又促進了四維的微分拓撲學出人意料的進展。
拓撲學對於分析學的現代發展起了極大的推動作用。隨著科學技術的發展，需要研究各式各樣的非線性現象，分析學更多地求助於拓撲學。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），30年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。後者以及前述的臨界點理論，都已成為研究非線性偏微分方程的標準的工具。微分拓撲學的進步，促進了分析學向流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。在托姆的影響下，然後隨意扭曲，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統的理論。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創立了微分流形上的橢圓型運算元理論。著名的阿蒂亞-辛格指標定理把運算元的解析指標與流形的示性類聯繫起來，是分析學與拓撲學結合的範例。現代泛函分析的運算元代數已與K理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多複變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。
拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，並且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數K理論。代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。托姆的配邊理論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的產生，後者又促使拓撲K 理論的產生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明。範疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支，對拓撲學本身也有影響。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。
在經濟學方面，馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大範圍分析的工具。在系統理論、對策論、規劃論、網路論中拓撲學也都有重要應用。
托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立了突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用。除了通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學（如液晶結構缺陷的分類）、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
除去七橋問題，四色問題，歐拉定理等，拓撲學中還有很多有趣並且很基本的問題。
空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發生打結現象。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變，並且不只做個模型試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事了（見紐結理論）。
什麼是曲線？樸素的觀念是點動成線，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是曲線。可是，皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，它填滿整個正方形！這激發了關於維數概念的深入探討，經過20～30年才取得關鍵性的突破。
考慮光滑曲面上的連續的切向量場，即在曲面的每一點放一個與曲面相切的向量，並且其分佈是連續的，其中向量等於0的地方叫作奇點。例如，地球表面上每點的風速向量就組成一個隨時間變化的切向量場，而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經驗看出，球面上的連續切向量場一定有奇點，而環面上卻可以造出沒有奇點的向量場。進一步分析，每個奇點有一個“指數”，即當動點繞它一周時，動點處的向量轉的圈數；此指數有正負，視動點繞行方向與向量轉動方向相同或相反而定。球面上切向量場，只要奇點個數是有限的，這些奇點的指數的代數和（正負要相消）恆等於2；而環面上的則恆等於0。這2與0恰是那兩個曲面的歐拉數，這不是偶然的巧合。這是拓撲學中的龐加萊-霍普夫定理。
考慮一個曲面到自身的連續變換（映射），即曲面的每一點被移到該曲面上的新的位置，連續是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點，新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。隨後，每個不動點也有個“指數”，即當動點繞它一周時，從動點指向其像點的向量轉動的圈數。拓撲學家們發現，曲面到自身的映射的不動點個數如果是有限的，它們的指數的代數和不會因對這映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特徵計算出來。特別是對於實心圓上的映射，指數和恆為1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。
● 一般拓撲學建立拓撲的基礎，並研究拓撲空間的性質，以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學，被用於其他數學領域（如緊緻性與連通性等主題）之中。
● 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。
● 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。
● 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為“低維拓撲學”，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括“紐結理論”，研究數學上的紐結。
2016年10月4日下午5點45分，2016年諾貝爾物理學獎揭曉，三位英美科學家David J. Thouless， F. Duncan M. Haldane，J. Michael Kosterlitz獲獎。獲獎理由是“理論發現拓撲相變和拓撲相物質”。其中，David J. Thouless獨享一半獎金，F. Duncan M. Haldane與J. Michael Kosterlitz分享另一半獎金。
David J. Thouless,1934年出生於英國貝爾斯登，1958年從美國康奈爾大學獲得博士學位。現為美國華盛頓大學榮譽退休教授。
F. Duncan M. Haldane，1951年出生於英國倫敦，1978年從英國劍橋大學獲得博士學位。現為美國普林斯頓大學物理學教授。
J. Michael Kosterlitz，1942年出生於英國阿伯丁，1969年從英國牛津大學獲得博士學位。現為美國布朗大學物理學教授。
