規範場

量子力學的發展賦予規範變換新的含義。在量子力學中波函數本身不是一個可觀測量，只有波函數的模方|ψ|2表示粒子出現的概率，這意味著波函數允許乘以一個相因子exp[iγ（x,y,z,t)]，或者說波函數允許作一相位變換。當相因子與時空坐標有關時，為了保持量子力學方程具有不變性，要求引入適當的場量，此場量的變換正是規範變換。因此在量子力學中規範變換就是相當於相位變換。由於相位變換是隨時空而變的，規範變換稱為定域規範變換。相應的場稱為規範場。

J.C.麥克斯韋在建立電磁場理論（1864）時，認為矢勢是描述電磁場的基本量，後來H.R.赫茲和O.亥維賽等人則認為E和B是電磁場的基本量，而A和ψ是輔助量，即沿襲至今的經典電動力學的觀點。赫茲和亥維賽等人的觀點是積極的，他們在這種觀點的指導下，將麥克斯韋當初的電磁場方程組改寫成如今對稱形式的麥克斯韋方程組。然而在近代，麥克斯韋的觀點重新受到重視，它孕育著新的內容，這就是規範場。

一種與物理規律的定域變換不變性不可分割地聯繫在一起的物質場，場量子的自旋是媡。規範變換的概念是由德國學者H.韋耳在1918年提出來的。“規範”的德文Eich原意是尺度，韋耳試圖通過物理規律不因在時空每一點上量度時空的尺度的隨意選擇而有所改變的原理來導出電磁理論。這種在時空每一點上量度時空的尺度的改變稱為定域規範變換，韋耳所試圖應用的原理亦稱作定域規範變換不變性原理。韋耳的嘗試並沒有成功，原因在於他所用的尺度的變換隻涉及時空自由度的改變，而電磁勢的改變則涉及物質的內部自由度（電荷），這兩種自由度是不同的。

1925年量子力學建立后，規範變換有了新的含義。在量子力學中有一種新的不變性：波函數的整體的相位的選擇有著任意性，相因子的改變

對力學量的觀測值毫無影響。在量子力學中，每一種變換下的不變性導致一種物理守恆量，與上述不變性相聯繫的守恆量就是電荷。

如果波函數在時空的每一點上相位作正比於電荷的改變

要求量子力學在這變換下不變，則必須有一矢量場Aμ（尣，t)存在，它在變換

⑵下作相應的變換

由它定義的場強正好為麥克斯韋方程組所描述，它與波函數ψ所描述的帶電粒子的相互作用，正好是熟知的電磁相互作用，因此，它就是電磁場的矢量勢。這樣，就完成了由韋耳開頭嘗試的從定域規範變換不變性導出電磁理論的工作。只是，規範變換已經從原來的定義換成由式⑴及⑵所規定的相位的變換，前者與時空無關，稱為整體規範變換，後者與時空有關，稱為定域規範變換。

由定域規範變換下不變性所要求存在的場，稱為規範場。變換⑵在數學上構成單參數的幺正變換群U⑴，這種變換往往被稱為U⑴定域規範變換。電磁場就是U⑴定域規範變換不變性所要求的規範場。這種場的量子就是光子，它的質量為零，自旋為媡，是傳遞電磁作用【它在U⑴定域規範變換下不變】的量子。

很早發現，質子和中子是同一種粒子──核子的兩個不同的狀態，它們具有一種新的量子數──同位旋，核力在同位旋空間的轉動下具有不變的性質。上述U⑴幺正變換群是可以對易的。即先後兩次變換的次序可以對易，在數學上稱為阿貝耳群，而同位旋的轉動變換也構成一個3參量的幺正幺模變換群SU⑵，它是不可對易的，在數學上稱為非阿貝耳群。核子的波函數在同位旋的轉動下的性質也可以表示為一種相位的變換，不過與U⑴變換的情況不同，這裡的相位的改變含有3個參量，在相位的整體變換（整體規範變換）下的不變性，意味著同位旋的守恆。在20世紀30年代就建立了具有整體同位旋不變性的核子力理論。

到了50年代，發現的粒子越來越多，它們之間的相互作用也顯得越來越紛繁，楊振寧認識到必須尋找決定相互作用的原則。U⑴定域不變性只決定電磁相互作用。楊振寧嘗試建立更普遍的導致相互作用的具有定域不變性的理論。1954年，楊振寧和R.L.密耳斯提出具有定域同位旋不變性的理論，發現必須引進三種矢量規範場，它們形成同位旋轉動群SU⑵的伴隨表示。他們發現這些規範場的量子的自旋為媡，同位旋為1，電荷分別為e、-e和0，但他們無法判定其質量多大。這一理論和電磁理論都具有定域不變性，但它們之間有一點重要的差別，光子之間不存在直接的相互作用，而楊振寧和密耳斯提出的理論中的規範場的量子之間有直接的相互作用。

楊振寧和密耳斯的討論可直接推廣到其他非阿貝耳規範變換群的情況。

阿貝耳規範場

如果規範變換群是阿貝耳群，則定域規範變換不變性所規定的規範場稱為阿貝耳規範場；

非阿貝耳規範場

如果規範變換群是非阿貝耳群，則定域規範變換不變性所規定的規範場稱為非阿貝耳規範場。

為了研究規範場的力程，楊振寧和李政道於1955年研究發現如果重子數守恆定律（見重子）是一種定域不變性的後果，則這種定域不變性所導致的阿貝耳規範場理論的數學形式和電磁場理論的數學形式十分相像，必然成為傳遞一種長程力的媒介。但在實驗上沒有觀察到這種長程力。這就在一段時間內使人們除電磁現象以外，不知道如何在物理上具體應用規範場理論。

1964年P.W.希格斯等人指出，如果真空的這種對稱性不是嚴格的，而是按一定方式破缺──真空對稱性自發破缺──的話，則規範場的量子可以具有質量。

因此，規範場的量子可以是無質量的或有質量的，視真空的相應的對稱性是嚴格的或破缺的而定。

物理規律在定域規範變換下的不變性，必然導致規範場的存在，使由規範場傳遞的，粒子之間在此定域規範變換下的不變的相互作用有確定的形式。能否把四種已知的相互作用──電磁相互作用、弱相互作用、強相互作用和引力相互作用，都用規範變換的對稱原理推導出來，這是一個很有吸引力的想法。在1967年及1968年，S.溫伯格和A.薩拉姆把黑格斯等人提出的使非阿貝耳規範場獲得質量的真空對稱性自發破缺的機制（黑格斯機制），用於由S.L.格拉肖提出的弱作用與電磁作用所具有的SU⑵×U⑴群規範對稱性，用定域規範變換不變原理將兩種相互作用統一起來：對稱性自發破缺以後剩下一個不破缺的電磁規範不變性，相應的規範場量子是無質量的光子，其餘三種規範場量子是有質量的矢量粒子W±和Z0，它們傳遞弱相互作用。這個理論的許多預言，都經受了實驗檢驗，特別是它預言的三個粒子W±和Z0，已分別在1983年1月和6月被發現，而且其性質與理論預言的相符。目前這個理論已被接受為電磁作用與弱作用的基本理論（見電弱統一理論）。

1964年，在M.蓋耳－曼和G.茲韋克提出強子由夸克構成的圖像之後，就開始了把強相互作用建立在夸克之間的相互作用上的嘗試。隨後發現，夸克具有一種新的量子數──色荷，相應的對稱性是在色空間中轉動的SU⑶變換下的不變性。建立在SU⑶定域規範變換下不變性的強作用的理論，就是量子色動力學，相應的規範場的量子是膠子，共有8種。量子色動力學是目前研究得最多的強作用理論。

電弱相互作用統一理論的成就，促使物理學家探討把各種相互作用在規範對稱性的基礎上統一起來的可能性。把電、弱、強三種作用統一起來的嘗試，稱為大統一理論。