複變函數

複數的概念起源於求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。

複變函數論產生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

複變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。

為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。

後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯了。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加萊、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。

複變函數論在應用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。

複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。

如果當函數的變數取某一定值的時候，函數就有一個唯一確定的值，那麼這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。

複變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函數在黎曼曲面上就變成單值函數。

黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋樑，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯繫起來。現時，關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。

複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函數論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。

留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對於複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為複變函數沿閉迴路曲線的積分后，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。

把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質，只要稍加改變后，同樣適用於廣義解析函數。

廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，這些年來這方面的理論發展十分迅速。

從柯西算起，複變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，並將取得更多應用。

為研究解析函數所不能解決的一般複變函數提供了一個通用方法。

解析函數是一類比較特殊的複變函數。200多年來，其核心定理“柯西-黎曼”方程組一直被數學界公認是不能分開的。儘管解析函數已形成比較完善的理論並得到多方面的應用，但自然界能夠滿足“柯西-黎曼”方程組條件的現象很少，使解析函數的應用受到較大的限制。由此，尋找把“柯西-黎曼”方程組分開的途徑，《半解析函數》理論。先後得出了一系列描述半解析函數特性的重要定理。《半解析函數》.《半解析函數開拓》、《與半解析函數定義等價的幾個定理》、《複變函數分解定理》等多篇學術論文，終於初步形成了半解析函數理論。在這個理論中，將“柯西-黎曼”方程組的兩個方程式分開，將滿足其中任一個方程式的函數定義為半解析函數，從而實現了對解析函數的推廣，為研究解析函數所不能解決的一般函數提供了一個通用的辦法。

解析函數由Cauchy—Rieman方程組確定。今保留其中條件之一而引入半解析函數，得到了一些結果，並找到了半解析函數的物理背景。

1983年王見定教授在世界上首次提出半解析函數理論，1988年又首次提出並系統建立了共軛解析函數理論；並將這兩項理論成功地應用於電場、磁場、流體力學、彈性力學等領域。此兩項理論受到眾多專家。學者的引用和發展，並由此引發雙解析函數、復調和函數、多解析函數（k階解析函數）、半雙解析函數、半共軛解析函數以及相應的邊值問題、微分方程、積分方程等一系列新的數學分支的產生。

共軛作為一個符號早年早有，但作為一個“共軛解析函數類”，王見定教授世界首次提出。任何一個學過複變函數的人都知道，複變函數的求導、積分都是仿實變函數的求導、積分形式推導出來的。解析函數之所以有價值，就在於它在電場、磁場、流體力學、彈性力學等方面的應用。但仔細考查，以上的應用都是共軛解析函數的直接應用，而非解析函數、共軛導數、共軛積分都有明確的物理、力學上直接含義（而解析函數沒有）。僅這一點王見定教授使西方數學大家示弱。共軛解析函數是和解析函數完全對稱的一類函數，這使得複變函數變得完美，眾人皆知對稱是科學的一個普遍的美。再者由於有了共軛解析函數類的提出，解析函數與共軛解析函數的不同組合才形成了復調和函數、雙解析函數、多解析函數及相應的微分方程、積分方程等一系列新的數學分支的產生。

復變數復值函數的簡稱。設A是一個複數集，如果對A中的任一複數z，通過一個確定的規則有一個或若干個複數w與之對應，就說在複數集A上定義了一個複變函數，記為

w=ƒ(z)

這個記號表示，ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。如果記z=x+iy,w=u+iv，那麼複變函數w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一個複變函數w=ƒ(z)就對應著一對兩個實變數的實值函數。除非有特殊的說明，函數一般指單值函數，即對A中的每一z，有且僅有一個w與之對應。例如，f(z)= 是複平面上的複變函數。但f(z)= 在複平面上並非單值，而是多值函數。對這種多值函數要有特殊的處理方法（見解析開拓、黎曼曲面）。

對於z∈A,ƒ(z)的全體所成的數集稱為A關於ƒ的像，記為ƒ(A)。函數ƒ規定了A與ƒ(A)之間的一個映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應；如果ƒ(A)∈A*，稱ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，則稱ƒ把A映成A*，此時稱A為A*的原像。對於把A映成A*的映射ƒ，如果z1與z2相異必導致ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對一的。在一對一的映射下，對A*上的任一w，A上必有一個z與之對應，稱此映射為ƒ的反函數，記為

z=ƒ-1(w)

設ƒ(z)是A上的複變函數，α是A中一點。如果對任一正數ε，都有正數δ，當z∈A且|z-α|<δ時，|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恆成立，則稱ƒ(z)在α處是連續的，如果在A上處處連續，則稱為A上的連續函數或連續映射。設ƒ是緊集A上的連續函數，則對任一正數ε，必存在不依賴自變數z的正數δ，當z1，z2∈A且|z1-z2<δ時|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恆成立。這個性質稱為ƒ(z)在A上的一致連續性或均勻連續性。

設ƒ(z)是平面開集D內的複變函數。對於z∈D，如果極限存在且有限，則稱ƒ(z)在z處是可導的，此極限值稱為ƒ(z)在z處的導數，記為ƒ'(z)。這是實變函數導數概念的推廣，但複變函數導數的存在卻蘊含著豐富的內容。這是因為z+h是z的二維鄰域內的任意一點，極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。一個複變函數如在z的某一鄰域內處處有導數，則該函數必在z處有高階導數，而且可以展成一個收斂的冪級數（見解析函數）。所以複變函數導數的存在，對函數本身的結構有重大影響，而這些結果的研究，構成了一門學科──複變函數論。

設函數 w = f(z) 在集 E 上確定，z0 為 E 之聚點，α 為一復常數。如果 ∀ε0，∃δ > 0，當 z ∈ E 且 時，有

則稱當 z 趨於 z0 時，f(z) 有極限 α，記作

設 f(z) 是在區域 D 內確定的單值函數，並且 z0 ∈ D，如果存在且等於有限複數 α，則稱f(z) 在 z0 點可導或者可微，或稱有導數 α，記作 f’(z0)。