複變函數

本書是根據高等院校對“複變函數”課程的基本要求，依據綜合大學數學專業的複變函數教學大綱，結合本學科的發展趨勢，在積累多年教學實踐的基礎上編寫而成的。本書內容以“必需、夠用”為度，旨在培養學生的數學素養，提高其應用數學知識解決實際問題的能力. 全書共分7章，系統地介紹了複變函數的基本理論和基本方法，包括複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、解析函數的冪級數表示、解析函數的洛朗展式及其孤立奇點、留數理論及其應用、共形映射. 本書適合綜合類院校中的數學與應用數學專業學生使用，也可供工程技術人員閱讀參考.

複變函數課程是數學分析的後繼課程，是數學專業的專業基礎課，課程目的是使學生在理解複變函數基本理論的基礎之上，對近代數學的一些概念與方法也有一定的了解，使學生掌握一些常見的處理複變函數及其相關問題的基本方法和技巧，為進一步學習後續課程和從事數學研究或教學工作奠定良好的基礎.

複變函數理論研究復變數的復值函數。在19世紀，複變函數理論得到了全面發展，柯西、黎曼、維爾斯特拉斯等為這門學科的發展做了大量奠基工作。複變函數理論這一數學分支幾乎統治了19世紀的數學，是當時的數學家公認的最豐饒的數學分支，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。複變函數除了其嚴謹且優美的理論體系外，在應用方面尤其有獨到的作用，它既能簡化計算，又能體現明確的物理意義，在許多領域被廣泛地應用，例如電器工程，通信與控制、信號分析與圖像處理、機械系統、流體力學、地質勘探與地震預報等.

本書基於有限的課時和本科高校的實際教學情況，適當地降低了一些內容的理論深度，對複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、解析函數的冪級數表示、解析函數的洛朗展式及其孤立奇點、留數理論及其應用、共形映射等內容做了較為系統的介紹。同時在定理的證明中力求做到深入淺出，突出基本結論和方法的運用。本書在確保知識體系完整的基礎上，刪去了一些難度較大和相對獨立的內容，力求做到數學過程簡單易懂，結論形式易於運用.

編者衷心感謝清華大學出版社的大力支持，感謝河北科技大學數學系全體任課教師給予的幫助和指導.

由於作者水平有限，書中難免有錯漏不當之處，敬請專家、同行和讀者批評指正.

作者2015年5月

第1章複數與複變函數

1.1複數及其運算

1.2複數的幾何表示

1.3複數的乘冪與方根

1.4複平面上的點集

1.5複變函數及其連續性

1.6復球面與無窮遠點

習題1

第2章解析函數

2.1複變函數的導數與微分

2.2解析函數

2.3初等函數

*2.4多值函數的支點和支割線

習題2

第3章複變函數的積分

3.1複變函數的積分的概念及其性質

3.2柯西積分定理及其推廣

3.3柯西積分公式及其推廣

3.4解析函數與調和函數的關係

習題3

第4章解析函數的冪級數表示

4.1復級數的基本性質

4.2冪級數

4.3冪級數與解析函數的關係

4.4解析函數的零點的孤立性及唯一性定理

習題4

第5章解析函數的洛朗展式及其孤立奇點

5.1解析函數的洛朗展式

5.2解析函數的孤立奇點

5.3解析函數在無窮遠點的性質

習題5

第6章留數理論及其應用

6.1留數

6.2用留數定理計算實積分

6.3輻角原理及其應用

習題6

第7章共形映射

7.1共形映射的概念

7.2分式線性變換

7.3一些初等函數所構成的共形映射

習題7

部分習題答案

參考文獻