複變函數

《複變函數》介紹了複變函數的基礎知識，內容包括複數域和複平面上的基本問題，解析函數的一些性質以及初等解析函數，復積分和柯西積分定理，級數理論，留數與輻角原理，許瓦茲原理、開映射原理、最大模原理、黎曼邊界對應原理，共形映射理論，解析開拓、調和函數、正規族、畢伯巴赫猜想簡介等。

《複變函數》可作為高等院校數學與應用數學專業的教材，也可作為大學教師、科技工作者的數學參考書。

第一章 複數和複平面1

第一節 複數1

一、複數域1

二、複平面1

三、複數域中一些公式和事實3

四、復球面10

第二節 複平面的初等拓撲11

一、基本概念11

二、一些結論13

習題一17

第二章 複變函數19

第一節 複變函數的極限與連續19

一、複變函數的定義19

二、複變函數的極限與連續20

第二節 解析函數22

一、解析函數的概念22

二、柯西？黎曼條件24

三、單葉函數的概念26

第三節 初等函數28

一、指數函數28

二、三角函數30

三、對數函數31

四、冪函數35

五、反三角函數36

習題二37

第三章 復積分39

第一節 復積分的概念及其性質39

一、復積分的概念39

二、復積分的基本性質40

三、復積分的計算41

第二節 柯西積分定理43

一、單連通區域上的柯西積分定理43

二、多連通區域上的柯西積分定理47

第三節 柯西積分公式及其應用49

第四節 解析函數與調和函數53

第五節 解析函數在流體動力學中的應用55

一、無旋且無源的流體流動55

二、流動的特徵函數57

習題三58

第四章 級數61

第一節 複數項級數和複變函數項級數61

一、複數項級數61

二、複變函數項級數63

三、級數∑+∞n=1annz的收斂性65

第二節 冪級數68

一、冪級數及其性質68

二、解析函數的泰勒展式70

三、解析函數零點的孤立性以及解析函數的唯一性73

第三節 洛朗展式75

一、雙邊冪級數75

二、解析函數的洛朗展式76

第四節 解析函數的孤立奇點80

一、孤立奇點的類型80

二、三種孤立奇點的特徵81

三、解析函數在無窮遠點的性質84

四、整函數和亞純函數85

習題四87

第五章 留數與輻角原理90

第一節 留數及其性質90

一、留數定理90

二、留數的求法91

三、函數在無窮遠點的留數93

第二節 用留數計算實積分95

一、三角函數有理式的積分95

二、廣義積分的計算96

三、其他類型的積分99

第三節 輻角原理及其應用102

一、對數留數102

二、輻角原理103

三、徠儒歇定理106

第四節 與解析函數的映射性質有關的一些定理108

習題五113

第六章 共形映射115

第一節 共形映射的基本概念115

第二節 分式線性映射117

一、分式線性映射及其分解117

二、分式線性映射的共形性118

三、分式線性映射的保交比性119

四、分式線性映射的保圓性120

五、分式線性映射的保對稱點性120

六、分式線性映射在共形映射中的應用122

第三節 某些初等函數的共形區域及其在共形映射中的簡單應用124

一、冪函數與根式函數124

二、指數函數和對數函數125

三、一些簡單的保形變換125

四、儒科夫斯基變換128

習題六130

第七章 傳統複分析中的部分問題133

第一節 解析開拓133

一、解析開拓的基本概念和方法133

二、對稱原理135

三、完全解析函數與黎曼面137

第二節 調和函數的一些基本性質138

一、平均值公式138

二、普阿松公式139

三、極值原理140

四、狄里克雷問題140

五、調和測度144

六、次調和函數145

第三節 正規族146

一、正規族的基本概念146

二、關於正規族的幾個基本原則148

三、儒里亞定理和畢卡定理149

第四節 單位圓盤上的單葉函數151

習題七154

參考文獻156