複變函數論

複變函數論產生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

複變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。

為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。

後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。

複變函數論在應用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。

廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。

從柯西算起，複變函數論已有170多年的歷史了。

複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。如果當函數的變數取某一定值的時候，函數就有一個唯一確定的值，那麼這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。複變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函數在黎曼曲面上就變成單值函數。黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋樑，能夠使人們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯繫起來。關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。

複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函數論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對於複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為複變函數沿閉迴路曲線的積分后，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質，只要稍加改變后，同樣適用於廣義解析函數。

在二次、三次代數方程求根的公式中就出現了形為式一的一類數，其中α，b是實數。式二在實數範圍內是沒有意義的，因此在很長時間裡這類數不能為人們所理解。R·笛卡兒曾稱之為虛數。但是隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。例如，每一個代數方程在此數域內至少有一個根，這就是代數學的基本定理。有時也稱它為達朗貝爾定理，而最初的嚴格證明則是由C.F.高斯給出的。

後來人們習慣以i表示，並且稱α+bi為複數。在複數α+bi與平面上的點(α，b)之間可以建立一一對應。L.歐拉在初等函數中引進了復變數，並給出了著名的歐拉公式e^ix=cosx+isinx。歐拉公式揭示了三角函數與指數函數間的聯繫。

一些實際問題也推動著複變函數理論的產生與發展。早在1752年J.leR.達朗貝爾關於流體阻力的研究中，便考慮在什麼條件下當平面上的點(x，y)趨於一點時復值函數u(x，y)+iv(x，y)存在導數。這裡要求導數與(x，y)所沿的路徑無關。這個問題的答案是：若?(z)=u+iv在域D內定義，且u，v作為x，y的函數在D內可微，則?(z)可導的充要條件為：式(1)。

這個條件稱為柯西-黎曼方程。在域D內可導的函數稱為解析函數或全純函數。由條件(1)易知，若u，v存在連續的二階偏導數，則u，v應滿足拉普拉斯方程。由(1)聯繫著的兩個調和函數稱為共軛調和函數。

19世紀前半葉，柯西為複變函數理論的建立奠定了基礎。他定義了複變函數的積分，並證明了下述柯西積分定理：若?(z)在區域D內解析，C為可求長的簡單閉曲線，且C及其內部均含於D內，則有式(2)。

從柯西積分定理可以得出一系列重要結論，諸如柯西積分公式、柯西不等式、惟一性定理、最大模原理等。特別地，若?(z)在域D內解析，則它在D內任意階導數存在，並且在D內每點α的鄰域內?(z)可展為z-α的冪級數。作為柯西積分定理的推廣，則有應用廣泛的留數定理。代數學基本定理就是留數定理的一個簡單推論。應用它還可計算一些較複雜的定積分。

從幾何觀點看，定義在域D內的一個解析函數w=?(z)，把D映為w平面上的一個區域。這樣的映射具有保持角度的性質，所以稱為保角映射，又稱共形映射。19世紀中葉，黎曼對此作了很多研究。他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在簡單閉曲線C上給了一個連續函數φ，則必存在於C內調和且連續到C上的函數u，u在C上的值與φ相同。在此基礎上，黎曼得出共形映射的基本定理：若單連通域D的邊界多於一點，z0為D內一點且θ0為一實數，則存在惟一的單葉解析函數w=?(z)將D映為w平面上的單位圓│w│<1，且滿足

?(z0)=0，?′(z0)>0。

這個定理稱為黎曼映射定理，它是複變函數幾何理論的基礎。根據這個定理，對於單連通區域內的解析函數常常可以化到單位圓內去研究。後來C·卡拉西奧多里進一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的邊界為一簡單閉曲線C，則C上的點與圓周│w│=1上的點也一一對應。

如前所述，解析函數在每點鄰域內可以展為冪級數，所以冪級數是研究解析函數的有力工具。這也是K.外爾斯特拉斯從事研究的出發點。若冪級數式(3)

的收斂半徑R為有窮正數，則?(z)在Γ:│z│

完全解析函數可以是單值的或多值的。對於多值函數，自變數z繞某些點一圈后函數從一個值變為另一個值，這些點稱為分支點。黎曼曲面是表示多值函數的具體的幾何方法，它是由一些互相適當連接的重疊的平面構成的。一個多值函數在其黎曼曲面上即成為單值的。黎曼曲面的重要例子是代數函數，即由代數方程P(z，w)=0確定的函數。這種函數的黎曼曲面恆可連續變形到球面或帶有若干個環柄的球面。環柄的個數稱為黎曼曲面的虧格，它決定了該曲面的很多重要性質。

綜述

總之，複變函數的主要研究對象是解析函數，包括單值函數、多值函數以及幾何理論三大部分。在悠久的歷史進程中，經過許多學者的努力，使得複變函數論獲得了巨大發展，並且形成了一些專門的研究領域。

單值函數

單值函數中最基本的兩類函數是整函數和亞純函數，它們分別是多項式和有理函數的發展。外爾斯特拉斯將多項式的因式分解定理推廣到整函數，而G.米塔-列夫勒則將有理函數分解為部分分式的定理推廣到亞純函數。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-)é.波萊爾等進一步發現了整函數的取值與多項式的取值之間有著很大的相似性。在此基礎上，1925年R.奈望林納建立了亞純函數值分佈的近代理論，對函數論的發展產生了重要影響。它和複變函數論的其他領域也存在著密切聯繫。例如，1973年A.伯恩斯坦應用實變函數的思想引進T^*函數，它在值分佈論的虧量問題、整函數的最小模問題以及單葉函數的研究中都發揮了顯著效用。

多值函數

複變函數

關於多值函數的研究主要是圍繞著黎曼曲面及單值化的問題來進行的。1913年（C.H.）H.外爾在其經典著作《黎曼曲面概念》中首先給出了抽象黎曼曲面的定義，它是流形這個現代數學基本概念的雛形。黎曼曲面的研究不僅使自身形成了完美的理論，而且它為代數幾何、自守函數、複流形、代數數論等近代數學重要分支的研究提供了簡單、明了的模型。

幾何理論

在複變函數的應用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通過共形映射研究繞機翼的流動便是著名的例子。實際應用中，常常要藉助近似方法具體地構造出映射函數。這方面有不少研究工作。當然，有時並不需要知道具體的映射函數，只是應用其幾何性質。這就推動了複變函數幾何理論的發展。

單葉函數的研究是複變函數幾何理論的一個重要組成部分，特別是1916年L.比伯巴赫提出的單位圓內形如式(4)的單葉解析函數應有|αn|≤n的猜測引起了許多學者的注意。近70年來，圍繞著比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，布朗基才完全證實了這個猜想。證明中主要應用了萊伯德－米林的工作，C.勒夫納的參數表示法以及關於雅可比多項式的結果。

柯西－黎曼方程表明了解析函數與橢圓型偏微分方程組之間的聯繫，20世紀50年代以來L.伯斯，И.Η.韋誇等考慮較為一般的橢圓型偏微分方程組，並引入廣義解析函數的概念。解析函數決定的映射為共形映射，它把無窮小圓映為無窮小圓；而廣義解析函數則決定了擬共形映射，它把無窮小圓映為無窮小橢圓。L.V.阿爾福斯，М.Α.拉夫連季耶夫為擬共形映射的理論奠定了基礎。

聚集合的概念

解析函數雖然在區域內部有很好的性質，但是當自變數z趨向於邊界時，函數的變化情況常常十分複雜。關於這方面的研究就形成了一個專門的領域，稱為解析函數邊界性質。經典的結果有法圖定理，Η.Η.盧津和И.И.普里瓦洛夫在這方面也有系統的研究。出現了聚集合的概念，進一步將研究引向深入。

作用

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複變函數

近代還有些函數論研究工作不再是考慮個別的函數，而是把具有某種性質的一族函數合在一起研究。事實上，P·蒙泰爾的解析函數正規族就應屬於這種類型的研究，並且顯示了其威力。從這種觀點出發的研究有了很大發展。例如Hp空間，它與其他數學分支產生了較密切的聯繫。複變函數理論從一個變數推廣到多個變數是十分自然的想法，總稱為複分析。但是在多變數時，定義域的複雜性大大增加了，函數的性質較之單變數時也有顯著的差異，它的研究需要藉助更多的近代數學工具（見多複變函數論）。

從柯西算起，複變函數論已有了150年的歷史。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中。它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，並將取得更多應用。

分支學科

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算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率論和數理統計、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學。