雅可比

雅可比在數學上做出了重大貢獻。他幾乎與阿貝爾（Abel，Niels Henrik，1802.8.5-1829.4.6）同時各自獨立地發現了橢圓函數，是橢圓函數理論的奠基人。1827年雅可比從陀螺的旋轉問題入手，開始對橢圓函數進行研究。1827年6月在《天文報告》（Astronomische Nachrichten）上發表了《關於橢圓函數變換理論的某些結果》。1829年發表了《橢圓函數基本新理論》（Fundamenta Nova Theoeiae Functionum Ellipticarum）,成為橢圓函數的一本關鍵性著作。書中利用橢圓積分的反函數研究橢圓函數，這是一個關鍵性的進展。他還把橢圓函數理論建立在被稱為θ函數這一輔助函數的基礎上。他引進了四個θ函數，然後利用這些函數構造出橢圓函數的最簡單的因素。他還得到θ函數的各種無窮級數和無窮乘積的表示法。

1832年雅可比發現反演可以藉助於多於一個變數的函數來完成。於是p個變數的阿貝爾函數論產生了，並成為19世紀數學的一個重要課題。1835年雅可比證明了單變數的一個單值函數，如果對於自變數的每一個有窮值具有有理函數的特性（即為一個亞純函數），它就不可能有多於兩個周期，且周期的比必須是一個非實數。這個發現開闢了一個新的研究方向，即找出所有的雙周期函數的問題。橢圓函數理論在19世紀數學領域中佔有十分重要的地位。它為發現和改進複變函數理論中的一般定理創造了有利條件。如果沒有橢圓函數理論中的一些特例為複變函數理論提供那麼多的線索，那麼複變函數理論的發展就會慢得多。

雅可比在函數行列式方面有一篇著名的論文：《論行列式的形成與性質》（1841）。文中求出了函數行列式的導數公式；還利用函數行列式作工具證明了，函數之間相關或無關的條件是雅克比行列式等於零或不等於零。他又給出了雅可比行列式的乘積定理。

雅可比在分析力學、動力學以及數學物理方面也有貢獻。C.馬克勞林、P.-S.拉普拉斯和J.-L.拉格朗日等曾得到這樣的結論：當均勻流體取旋轉橢球體的形狀且繞旋轉軸轉動時，形狀不會改變。雅可比進一步發現：即使流體形狀是一般的橢球體，也滿足平衡條件。他深入研究了哈密爾頓（Hamilton,William Rowan,1805.8-1865.9）典型方程，經過引入廣義坐標變換后得到一階偏微分方程，稱為哈密爾頓雅可比微分方程。他還發展了這些方程的積分理論，並用這一理論解決了力學和天文學的一些問題。值得一提的是，在表述經典力學的各種理論中唯有哈密頓－雅可比理論可用於量子力學。另外，雅可比還找到了恰當表達P．-L．M．de 馬保梯的最小作用量原理的數學形式，建立了雅可比運動方程。他在偏微分方程和分析力學方面的大部分工作，收在他的著作《動力學講義》中。書中還探討過一個橢球體上的側地線，從而導致了兩個阿貝爾積分之間的關係。這樣促進了常微分方程組和一階偏微分方程組的研究的進展。

雅可比第一個將橢圓函數理論應用於數論研究。他在1827年的論文中已做了一些工作，後來又用橢圓函數理論得到同餘式和型的理論中的一些結果，他曾給出過二次互反律的證明，還陳述過三次互反律並給出了證明。

雅可比對數學史的研究也感興趣。1846年1月做過關於R.笛卡爾(Descartes，Rence，1596.3.31-1650.2.11)的通俗演講，對古希臘數學也做過研究和評論。1840年他制訂了出版歐拉著作的計劃(因歐拉的孫子發現歐拉有許多文章未發表)。

另外他在發散級數理論、變分法中的二階變分問題、線性代數和天文學等方面均有創見。他的工作還包括代數學、變分法、複變函數論和微分方程，以及數學史的研究。將不同的數學分支連通起來是他的研究特色。他不僅把橢圓函數論引進數論研究中，得到了同餘論和型的理論的一些結果，還引進到積分理論中。而積分理論的研究又同微分方程的研究相關聯。此外，尾乘式原理也是他提出的。

現在數學中的許多定理、公式和函數恆等式、方程、積分、曲線、矩陣、根式、行列式及多種數學符號的名稱都冠以雅克比的名字。1881—1891年普魯士科學院陸續出版了由C.W.博爾夏特(Borchardt)等人編輯的七卷《雅可比全集》和增補集，這是雅可比留給世界數學界的珍貴遺產。

雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)它是以n個n元函數的偏導數為元素的行列式。

事實上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。若因變數對自變數連續可微，而自變數對新變數連續可微，則因變數也對新變數連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類似於導數的連鎖法則。

偏導數的連鎖法則也有類似的公式；這常用於重積分的計算中。如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恆等於零，則函數組是函數相關的，其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。

雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)它是以n個n元函數的偏導數為元素的行列式。事實上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。若因變數對自變數連續可微，而自變數對新變數連續可微，則因變數也對新變數連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類似於導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；這常用於重積分的計算中。如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恆等於零，則函數組是函數相關的，其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。還有，在代數幾何中，代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個群簇，曲線可以嵌入其中。它們全部都以數學家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函數的導數。雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣。

雅可比出生於一個富裕的猶太人家庭，其父是銀行家。雅可比自幼聰明,幼年隨他舅舅學習樣丁文和數學。1816年11月進入波茨坦大學預科學習，1821年春畢業。當時他的希臘語、拉丁語和歷史的成績都很優異；尤其在數學方面，他掌握的知識遠遠超過學校所教授的內容。他還自學了L.歐拉的《無窮小分析引論》，並且試圖解五次代數方程。

1821年4月雅可比入柏林大學，開始兩年的學習生活，他對哲學、古典文學和數學都頗有興趣。該校的校長評價說，從一開始雅可比就顯示出他是一個“全才”。像高斯一樣，要不是數學強烈吸引著他，他很可能在語言上取得很高成就。雅可比最後還是決定全力投身數學。1825年，他獲得柏林大學理學博士學位。之後，留校任教。1825年到1826年冬季，他主講關於三維空間曲線和曲面的解析理論課程。年僅21歲的雅可比善於將自己的觀點貫穿在教學之中，啟發學習獨立思考，是當時最吸引人的數學教師，他的成功引起普魯士教育部的注意。

1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大學任教，在柯尼斯堡大學的18年間，雅可比不知疲倦地工作著，在科學研究和教學上都做出驚人的成績。他在數學方面最主要的成就是和挪威數學家N.H.阿貝爾相互獨立地奠定了橢圓函數論的基礎，引入並研究了θ 函數和其他一些超越函數。這些工作使法國數學家A.-M.勒讓德在這一領域的工作黯然失色。但無私的勒讓德讚揚和支持他和阿貝爾的工作。他對阿貝爾函數也作了研究，還發現了超橢圓函數。他對橢圓函數理論的透徹研究在數學界引起轟動，從而與N.H.阿貝爾齊名。雅可比在橢圓函數理論、數學分析、數論、幾何學、力學方面的主要論文都發表在克雷勒的《純粹和應用數學》雜誌上，平均每期有三篇雅可比的文章。這使得他很快獲得國際聲譽。當時，他同數學家貝塞爾、物理學家F.諾伊曼三人成為德國數學復興的核心。 1827年12月被任命為副教授，1832年7月為教授。1827年被選為柏林科學院院士。他還是倫敦皇家學會會員，還是彼得堡、維也納、巴黎、馬德里等科學院院士。1842年由於健康不佳而退隱，定居柏林。1844年起接受普魯士國王的津貼，在柏林大學任教。1848年革命期間，由於在一次即席演講中得罪了王室而失去了津貼。當維也納大學決定聘請他當教授時，普魯士當局才意識到他的離開會造成的損失，因而恢復了他的待遇。

1851年初雅可比在患流行性感冒還未痊癒時,又得了天花,不久去世.他的密友P.G.L.狄利克雷在柏林科學家發表紀念講話，總結了他在數學上的傑出貢獻，稱他為J.L. 拉格朗日以來科學院成員中最卓越的數學家。

現代數學許多定理、公式和函數恆等式、方程、積分、曲線、矩陣、根式、行列式以及許多數學符號都冠以雅可比的名字，可見雅可比的成就對後人影響之深。1881——1891年普魯士科學院陸續出版了由C.W.博爾夏特等人編輯的七卷《雅可比全集》和增補集，這是雅可比留給世界數學界的珍貴遺產。