線性代數

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關係問題。線性關係意即數學對象之間的關係是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關於變數是一次的函數稱為線性函數。線性關係問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

所謂“線性”，指的就是如下的數學關係：。其中，f叫線性運算元或線性映射。所謂“代數”，指的就是用符號代替元素和運算，也就是說：我們不關心上面的x，y是實數還是函數，也不關心f是多項式還是微分，我們統一把他們都抽象成一個記號，或是一類矩陣。合在一起，線性代數研究的就是：滿足線性關係的線性運算元f都有哪幾類，以及他們分別都有什麼性質。

線性代數作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。“雞兔同籠”問題實際上就是一個簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數學著作《九章算術·方程》章中，已經作了比較完整的敘述，其中所述方法實質上相當於現代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。

由於費馬和笛卡兒的工作，現代意義的線性代數基本上出現於十七世紀。直到十八世紀末，線性代數的領域還只限於平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。

隨著研究線性方程組和變數的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀期間先後產生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數的發展。向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯繫的矩陣理論，構成了線性代數的中心內容。

矩陣論始於凱萊，在十九世紀下半葉，因若當的工作而達到了它的頂點。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維線性空間。托普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體（domain）上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而不依賴於基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為運算元之定義域，這就引向模（module）的概念，這一概念很顯著地推廣了線性空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。

“代數”這個詞在中文中出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數學”，之後一直沿用。

線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和演演算法基礎的一部分。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯繫，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對於強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變數之間的關係，還要進一步研究多個變數之間的關係，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由於計算機的發展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學里一個很重要的內容。

線性代數的含義隨數學的發展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支，同時也是理論物理和理論化學所不可缺少的代數基礎知識。

“以直代曲”是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最後往往歸結為線性問題，它比較容易處理。因此，線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用，是一門基本的和重要的學科。

如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！線性是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。可以說，不學線性代數，你就漏過了95%的人類智慧！非線性的問題極為困難，我們並沒有足夠多的通用的性質和定理用於求解具體問題。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向！

事實上，微積分“以直代曲”的思想就是將整體非線性化為局部線性的一個經典的例子，儘管高等數學在定義微分時並沒有用到一點線性代數的內容。許多非線性問題的處理――譬如流形、微分幾何等，最後往往轉化為線性問題。包括科學研究中，非線性模型通常也可以被近似為線性模型。隨著研究對象的複雜化與抽象化，對非線性問題線性化，以及對線性問題的求解，就難免涉及到線性代數的術語和方法了。從這個意義上，線性代數可以被認為是許多近、現代數學分支的共同基礎。

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關係，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數。

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關係，一階導數不為常數。

線性代數起源於對二維和三維直角坐標系的研究。在這裡，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。

現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為 n 的向量空間叫做n 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。儘管許多人不容易想象n 維空間中的向量，這樣的向量（即n 元組）用來表示數據非常有效。由於作為 n 元組，向量是n 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這裡，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬於抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或複數域。線性運算元將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣演演算法的深入研究（包括行列式和特徵向量）也被認為是線性代數的一部分。

我們可徠以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。

線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，並用線性代數的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。

·每一個線性空間都有一個基。

·對一個 n 行 n 列的非零矩陣 A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA =E（E是單位矩陣），則 A 為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），B為A的逆陣。

·矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。

·矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。

·矩陣半正定當且僅當它的每個特徵值大於或等於零。

·矩陣正定當且僅當它的每個特徵值都大於零。

·解線性方程組的克拉默法則。

·判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和係數矩陣的關係。

線性代數是一個成功的理論，其方法已經被應用於數學的其他分支。

● 模論就是將線性代數中的標量的域用環替代進行研究。

● 多線性代數將映射的“多變數”問題線性化為每個不同變數的問題，從而產生了張量的概念。

● 在運算元的光譜理論中，通過使用數學分析，可以控制無限維矩陣。

所有這些領域都有非常大的技術難點。