線性代數

本書內容分為八章，其中前六章為基礎理論部分，內容包括行列式、短陣、n維向量空間、線性方程組、矩陣的特徵值與對角化、實二次型。另外，為了幫助學生提高數學素養、培養創新意識、掌握運用數學工具去解決實際問題的能力，本書第七章、第八章利用MATLAB工具，結合前面的基礎理論，給出了一些數學實驗與具體應用實例。

本書可作為理工科院校線性代數課程的教科書，也可作為其他相關專業的參考書。

第一章行列式1

第一節二階、三階行列式1

一、二階行列式1

二、三階行列式2

第二節n階行列式4

一、全排列與逆序4

二、n階行列式的定義5

三、行列式的基本性質8

第三節n階行列式的計算11

一、n階行列式的計算11

二、行列式的乘法19

第四節克拉默法則22

第二章矩陣27

第一節 矩陣的概念與運算27

一、矩陣的概念27

二、矩陣運算29

三、矩陣的轉置34

第二節矩陣的逆36

一、可逆矩陣的概念36

二、可逆矩陣的逆矩陣的求法37

三、逆矩陣的性質39

第三節分塊矩陣41

一、分塊矩陣的概念41

二、分塊矩陣的運算43

第四節初等變換與初等矩陣46

一、矩陣的初等變換與初等矩陣46

二、矩陣的標準形48

第五節矩陣的秩53

第三章n維向量空間59

第一節n維向量空間59

一、n維向量的概念59

二、n維向量的運算59

三、Rn的子空間60

第二節向量的線性相關性62

一、向量的線性組合與向量組間的線性表示62

二、向量組的線性相關性63

三、向量組線性關係的性質65

第三節基、維數、坐標68

一、向量組的結構68

二、向量空間Rn及其子空間72

三、基變換和坐標變化72

第四章線性方程組75

第一節消元法75

第二節線性方程組解的存在定理78

第三節線性方程組解的結構82

一、齊次方程組解的結構82

二、非齊次方程組解的結構86

第五章矩陣的特徵值與對角化92

第一節特徵值與特徵向量92

一、特徵值與特徵向量的概念92

二、特徵值與特徵值的求法92

三、特徵值與特徵值的性質94

四、矩陣的對角化96

第二節 向量的內積98

一、內積與正交98

二、施密特（Schmidt）正交化99

三、正交矩陣100

第三節實對稱矩陣的對角化102

一、實對稱矩陣的定義和性質102

二、實對稱矩陣正交相似對角化的計算102

第六章實二次型105

第一節二次型的基本概念105

一、二次型及其矩陣表示105

二、二次型的標準形107

第二節化二次型為標準形109

一、用配方法化二次型為標準形109

二、用正交變換化二次型為標準形111

三、用合同變換法化二次型為標準形115

第三節規範形117

第四節正定二次型120

第七章MATLAB解題124

第一節基本語法124

一、標示符124

二、矩陣及其元素的賦值 124

三、複數124

四、變數檢查124

第二節MATLAB解題實例125

一、行列式的計算方法125

二、逆矩陣的計算方法125

三、用矩陣“除法”解線性方程的計算方法127

四、超定矛盾方程的最小二乘法的計算方法129

五、正交基向量的計算方法130

六、矩陣特徵值和特徵向量的計算方法131

七、求正交矩陣將是對稱矩陣化成對角陣的計算方法132

八、求矩陣的Jordan標準型的計算辦法133

九、矩陣奇異值分解的計算辦法133

第八章應用實例136

第一節線性方程組的應用136

一、曲線擬合136

二、運輸管理中的流量問題137

第二節矩陣的應用138

一、馬爾科夫鏈138

二、線性經濟模型139

第三節實向量空間的應用141

第四節特徵值特徵向量的應用142

一、斐波那契序列142

二、二次型中的應用143

習題參考答案145

參考文獻154