線性代數

本書以線性方程組為主線、以矩陣和向量為工具，闡述線性代數的基本概念、基本理論和方法，使全書內容聯繫緊密，具有較強的邏輯性。全書共分5章，分別介紹線性方程組、矩陣代數、向量代數、特徵值和特徵向量以及二次型. 對每章的學習內容簡述其起源和作用.

由於線性代數概念多、結論多，內容較抽象，本書盡量從簡單實例入手，力求通俗易懂、由淺入深，對重點內容提供較多的典型例題，以幫助學生更好地理解、掌握和運用線性代數的知識. 每章有精選習題，有些選自歷年的研究生入學考試題目，書後有習題答案. 專業術語均有對應的英文. 本書簡單介紹了使用MATLAB求解線性代數問題的一些常見命令，希望能引起大家的學習興趣，較早進入MATLAB世界.

本書適合於普通高等院校非數學專業各類理工科本科生特別是計算機各專業、電子信息及有關各專業、自動化專業、經濟和管理學科等專業學生作為教學用書.

本書有配套的《線性代數學習指導與習題解答》輔助用書，同時由清華大學出版社出版，本書電子教案可在清華大學出版社網站下載.

什麼是代數？代數(algebra)最早就是求解方程或方程組，在清代傳入我國，當時將Algebra翻譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年才翻譯成“代數”.根據現代數學的觀點，代數就是在所考慮的對象之間規定一些運算后得到的數學結構.

什麼是線性代數？線性代數(linear algebra)涉及的運算主要是稱為加減和數乘的線性運算，這些線性運算須滿足一定的性質進而構成線性空間。線性代數需要解決的第一個問題就是求解來源於實際應用問題的線性方程組.

線性代數的研究對象是什麼？線性代數的研究對象是線性空間，包括其上的線性變換。它與高等代數、近世代數的研究對象略有所不同.

從廣義的角度看，線性代數研究線性科學中的“線性問題”.直觀地講，對所考慮的變數來講，和式中各項次數最高為一次的問題就是線性問題。即使是大量出現的非線性問題有時也可以轉換成線性問題進行處理，如在一定條件下，曲線可用直線近似，曲面可用平面近似，函數增量可用函數的微分近似.

矩陣和向量是重要的代數工具。線性問題的討論往往涉及矩陣和向量，它們是重要的代數工具。在一定的意義上，它們以及其上的一些運算本身就構成線性空間。因此，線性代數的主要內容分別是線性方程組、向量空間、矩陣代數，以及與線性變換密切相關的方陣的特徵值和二次型這種線性空間之間特殊的雙線性函數等.

線性代數的特點是什麼？內容較抽象、概念和定理較多，前後聯繫緊密，環環相扣，相互滲透.

為何要學習線性代數？線性代數是一種數學建模方法，科研工作者必須掌握，雖然其有關內容具有一定的抽象性。前面已經提到，線性化是重要的數學方法，在高等數學特別是優化問題的討論中會用到。在計算機程序設計語言特別是MATLAB中，矩陣是最基本的數據結構。在微積分（高等數學）、微分方程、離散數學、演演算法分析與設計、計算機圖形圖像處理及數字信號處理等課程中，矩陣、向量、線性變換是經常要用的知識。隨著計算機的普及，線性代數在理論和實際應用中的重要性更加突出，這使得諸如計算機專業、電子信息專業、自動控制專業以及經濟管理專業等對線性代數的內容從深度和廣度方面都提出了更高的要求.

學習線性代數要達到的目的。通過線性代數的學習，一方面可以進一步培養抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，為進一步學習和研究打下堅實的理論基礎，另一方面為立志報考研究生的同學提供必要的線性代數理論知識、解題技巧和方法.

本書適用對象。本書是根據作者多年的教學經驗編寫的，同時也參考了國內外的線性代數教材。所選內容適合於普通高等院校非數學專業各類理工科本科學生，特別是計算機各專業、電子信息及相關各專業、自動化專業、經濟和管理學科等專業本科學生作為教學用書，也可作為理工科考研學生和有關工作者的參考書.

本書主要內容。全書共分5章，分別介紹線性方程組、矩陣代數、向量代數、特徵值與特徵向量和二次型。全書以線性方程組為主線、以矩陣和向量為工具闡述線性代數的基本概念、基本理論和方法，使全書內容聯繫緊密，具有較強的邏輯性。由於線性代數概念多、結論多，內容較抽象，本書盡量從簡單實例入手，力求通俗易懂、由淺入深，對重點內容提供較多的典型例題，以幫助學生更好地理解、掌握和運用線性代數的知識。每章都有精選習題，有些選自歷年的研究生入學考試線性代數題目，書後有習題答案.

MATLAB程序設計語言。計算機科學的研究和發展，給線性代數內容注入了新的活力，出現了各種各樣的數學軟體，如MATLAB、Mathematic等。本書介紹了使用MATLAB求解線性代數問題的一些常見命令，希望能引起大家的學習興趣，較早進入MATLAB世界。因為MATLAB強大的數值計算和符號計算功能、卓越的數據可視化能力和適用於各行各業的不同的工具箱(Toolbox)，使得MATLAB成為多學科多種工作平台的程序設計語言，在歐美的幾乎所有高校中，MATLAB已經成為線性代數、概率論與數理統計、自動控制理論、數字信號處理、動態系統模擬等課程的基本教學工具，是攻讀學位的大學生、碩士生和博士生必須掌握的基本技能.

本書講授約需54課時，根據教學課時數以及學生具體情況，對於第2章、第3章和第5章內容，特別是個別難度較大的例題，進行適當刪減，可作為專科學生、網路學院學生、成教學生的教材。在學習過程中，若能結合與本書配套的教學輔助用書《線性代數學習指導與習題解答》進行學習，則能起到舉一反三、加深對課本內容理解的作用.

由於編者水平有限，缺點和疏漏在所難免，肯請大家不吝指正，萬分感激.

編者

2008年5月

第1章線性方程組

1.1線性方程組與矩陣的有關概念

1.1.1線性方程組的有關概念

1.1.2矩陣的有關概念

1.2線性方程組解的存在性

1.2.1線性方程組的解

1.2.2線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換

1.2.3高斯消元法、行階梯形矩陣與矩陣的秩

1.3線性方程組的高斯求解方法

1.3.1將增廣矩陣化為行階梯形矩陣

1.3.2將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣

習題1

第2章矩陣代數

2.1矩陣的線性運算

2.1.1矩陣的加法運算

2.1.2矩陣的數乘運算

2.2矩陣的乘法運算

2.2.1矩陣的乘法運算的定義和性質

2.2.2方陣的冪運算

2.3方陣的行列式

2.3.1n階行列式的定義

2.3.2行列式的性質

2.3.3行列式的計算

2.4求解線性方程組的Cramer法則

2.5矩陣的分塊技巧

2.5.1分塊矩陣的定義

2.5.2分塊矩陣的運算

2.6逆矩陣

2.6.1逆矩陣的定義及性質

2.6.2求逆矩陣的伴隨矩陣法

2.6.3求逆矩陣的高斯消元法

習題2

第3章向量空間

3.1向量及其線性運算

3.1.1向量的概念

3.1.2向量的線性運算

3.2向量組的線性相關性

3.2.1向量組的概念

3.2.2向量組的線性組合

3.2.3向量組的線性相關與線性無關

3.3向量組的極大無關組

3.3.1兩個向量組等價

3.3.2向量組的極大無關組

3.4向量空間

3.4.1向量空間的定義

3.4.2向量空間的基與坐標

3.4.3過渡矩陣及坐標變換公式

3.5線性方程組的結構解

3.5.1齊次線性方程組的結構解

3.5.2非齊次線性方程組的結構解

3.6線性空間與線性變換

3.6.1線性空間

3.6.2線性變換

習題3

第4章特徵值與特徵向量

4.1特徵值與特徵向量的概念與計算

4.1.1特徵值與特徵向量的概念

4.1.2特徵值與特徵向量的計算

4.2特徵值與特徵向量的性質

4.3相似矩陣與方陣的對角化

4.3.1相似矩陣

4.3.2方陣的對角化

習題4

第5章二次型

5.1二次型的有關概念

5.1.1二次型的定義和矩陣

5.1.2合同矩陣

5.1.3二次型的標準形

5.2用配方法求二次型的標準形

5.3歐氏空間

5.3.1向量的內積

5.3.2歐氏空間的定義

5.3.3正交矩陣

5.4實對稱矩陣的對角化與二次型的標準形

5.4.1實對稱矩陣的對角化

5.4.2正交變換與二次型的標準形

5.5正定二次型與正定矩陣

5.5.1正定二次型

5.5.2正定矩陣

習題5

附錄A中英文名詞索引

附錄B習題答案

參考文獻