線性代數

全書包括行列式、矩陣、n維向量與線性方程組、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換共5章。

本書適用於“卓越計劃”的大學本科生。教材可讀性較強，也可作為其他讀者的參考書。

線性代數理論是計算技術的基礎，同系統工程、優化理論及穩定性理論等有著密切聯繫。由於計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決，於是作為處理離散問題的線性代數成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎，是高等院校理工類專業必修的一門數學基礎課。

2010年我校施行“卓越工程師教育培養計劃”以來，以教育部倡導的“按通用標準和行業標準培養工程人才、強化培養學生的工程能力和創新能力”為宗旨，大力推行教育教學改革，本書在此基礎上孕育而生。在編寫過程中，編者根據“卓越計劃”的基本要求，教學內容突出基本概念、基本理論和基本技能，注重培養學生的數學素質，著力改變以往工科線性代數教學中重運算技巧、輕數學思想的傾向，強調數學的基本思想、基本方法(如強調基本概念及各個概念之間的固有聯繫，重視闡明基本理論的脈絡等)，注意對基本概念和定理的幾何背景與實際應用背景的介紹，淡化某些特殊技巧的處理，充分利用計算機技術和數學軟體解決問題。在習題配置中也突出基本題、概念題和與工程相關的實際應用題等。

根據實踐教學和實際應用中的特點，本書的內容也與以往教材有所變化。考慮到工程實際中碰到的具體問題都是求解一個階數確定的行列式，在教材編寫以及教學過程中適當降低行列式計算的教學要求，不必要也不應該把精力放在牽涉到很高計算技巧和大量複雜計算中，而應該讓學生掌握由具體到一般、由低階到高階的數學思想方法；其次，由於矩陣在實際工程中幾乎是無處不在、無處不用的數學工具，它是將實際問題與數學理論聯繫在一起的橋樑，而學生往往在理論與實際相結合方面有所欠缺，因此我們在教材中適量增加矩陣的教學內容，提高矩陣的教學要求，使學生對矩陣的重要性及應用性有充分的認識，提高學生的數學素養和培養學生應用數學知識分析問題、解決問題的能力。另外，注意培養學生利用計算機解決實際問題的能力，將線性代數應用和計算中經常使用的軟體，如Mathematica、MATLAB、Maple等的使用說明和經常使用的命令，對應各章節的教學內容編入教材附錄中，支持和鼓勵學生上機，利用數學軟體來解決線性代數課程中遇到的各類計算，並引導學生通過自己編程來解決一些簡單的實際問題。

本書由吳隋超策劃、組織編寫，並負責統稿、定稿。全書共5章，第1章和第2章前四節由吳隋超編寫，2.5、2.6節和第3章由沈軍編寫，第4章和第5章由俞衛琴編寫。

在本書的編寫過程中得到了上海工程技術大學教務處、基礎教學學院分管領導和數學教學部全體教師的關心和大力支持，張子厚教授就本書的編寫提出了指導性的意見，在此表示衷心的感謝。

本書雖經多次討論，反覆修正，但限於編者水平，加之教學改革中的一些問題有待進一步探索，缺點和疏漏之處在所難免，懇請使用本書的老師和同學批評指正。

編者2013年12月

第1章行列式

1.1二階、三階行列式

1.1.1二元線性方程組與二階行列式

1.1.2三階行列式

1.2全排列與逆序數

1.3n階行列式

1.3.1n階行列式的定義

1.3.2行列式的初等變換

1.3.3行列式的運算性質

1.4行列式按某一行(列)展開

1.5克拉默法則

習題一

第2章矩陣

2.1線性方程組與矩陣

2.2矩陣的代數運算與性質

2.2.1矩陣的加法

2.2.2數與矩陣的乘法

2.2.3矩陣與矩陣的乘法

2.3逆矩陣

2.4幾種特殊矩陣及其運算

2.4.1轉置矩陣

2.4.2對稱矩陣

2.4.3分塊矩陣

2.5矩陣的秩與初等變換

2.5.1矩陣的秩

2.5.2矩陣的初等變換

2.6初等矩陣

2.6.1初等矩陣的概念與性質

2.6.2用初等變換求逆矩陣

習題二

第3章n維向量與線性方程組

3.1n維向量及其線性運算

3.2向量的線性關係

3.2.1向量組的線性組合

3.2.2線性相關與線性無關

3.3向量組的極大無關組和秩

3.3.1向量組的極大無關組和秩的定義

3.3.2向量組的秩與矩陣的秩的關係

3.4線性方程組的概念與Gauss消元法

3.4.1線性方程組的概念

3.4.2Gauss消元法

3.5線性方程組的解的存在性

3.5.1線性方程組有解的充要條件

3.5.2齊次線性方程組的解的判別

3.5.3非齊次線性方程組的解的判別

3.6線性方程組的解的結構

3.6.1齊次線性方程組的解的結構

3.6.2非齊次線性方程組的解的結構

習題三

第4章相似矩陣及二次型

4.1方陣的特徵值與特徵向量

4.1.1特徵值與特徵向量的定義

4.1.2特徵值與特徵向量的性質

4.2矩陣相似對角化

4.2.1相似矩陣

4.2.2矩陣相似對角化的條件

4.3實對稱矩陣的對角化

4.3.1向量組的標準正交化

4.3.2正交變換

4.3.3實對稱矩陣的對角化

4.4二次型及其標準形

4.4.1二次型與對稱矩陣

4.4.2用正交變換法化二次型為標準形

4.4.3用配方法化二次型為標準形

4.5正定二次型

4.5.1慣性定理

4.5.2二次型正定性的判別

4.5.3正定和負定性的應用

習題四

第5章線性空間與線性變換

5.1線性空間

5.1.1線性空間的定義和性質

5.1.2線性空間的維數、基與坐標

5.1.3基變換與坐標變換

5.2線性變換

5.2.1線性變換的定義和性質

5.2.2線性變換的矩陣表示

5.2.3線性變換在不同基下的矩陣

習題五

附錄數學軟體在線性代數中的應用

習題簡答

參考文獻