高等代數

初等代數從最簡單的一元一次方程開始，初等代數一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續發展，代數在討論任意多個未知數的一次方程組，也叫線性方程組的同時還研究次數更高的一元方程組。發展到這個階段，就叫做高等代數。高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數、多項式代數。

在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而二次以上的一元方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變數論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。高次方程組發展成為一門比較現代的數學理論－代數幾何。

線性代數是高等代數的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數就叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九世紀受到很大的注意，而且寫了成千篇關於這兩個課題的文章。向量的概念，從數學的觀點來看不過是有序三元數組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，並且數學上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用於梯度，散度，旋度就更有說服力。同樣，行列式和矩陣如導數一樣（雖然‘dy/dx’在數學上不過是一個符號，表示包括‘Δy/Δx’的極限的長式子，但導數本身是一個強有力的概念，能使我們直接而創造性地想象物理上發生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數生動的概念能對新的思想領域提供鑰匙。然而已經證明這兩個概念是數學物理上高度有用的工具。

線性代數學科和矩陣理論是伴隨著線性系統方程係數研究而引入和發展的。

十七世紀日本數學家關孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。而在歐洲，另一個提出行列式概念的是德國的數學家，微積分學奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz，1693年）。

1750年克萊姆（Cramer）在他的《線性代數分析導言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中發表了求解線性系統方程的重要基本公式（既人們熟悉的克萊姆法則，Cramer‘s law）。

1764年，Bezout把確定行列式每一項的符號的手續系統化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了係數行列式等於零是這方程組有非零解的條件。Vandermonde是第一個對行列式理論進行系統的闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人。並且給出了一條法則，用二階子式和它們的餘子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。

參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《對積分和世界體系的探討》中，證明了Vandermonde的一些規則，並推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的餘子式的集合來展開行列式，這個方法如今仍然以他的名字命名。1841年，德國數學家雅可比（Jacobi）總結並提出了行列式的最系統的理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數學家柯西（Cauchy），他大大發展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣並首次採用了雙重足標的新記法，與此同時發現兩行列式相乘的公式及改進並證明了laplace的展開定理。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年後的雙線性型工作中體現的。拉格朗日期望了解多元函數的最大、最小值問題，其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導數為0，另外還要有二階偏導數矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負的定義。儘管拉格朗日沒有明確地提出利用矩陣。

大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法並用它解決了天體計算和後來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當地精確位置的應用數學分支稱為測地學。）雖然高斯由於這個技術成功地消去了線性方程的變數而出名，但早在幾世紀中國人的手稿中就出現了解釋如何運用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統。在當時的幾年裡，高斯消去法一直被認為是測地學發展的一部分，而不是數學。而高斯- 約當消去法則最初是出現在由Wilhelm Jordan撰寫的測地學手冊中。許多人把著名的數學家Camille Jordan誤認為是“高斯- 約當”消去法中的約當。

矩陣代數的豐富發展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時間和同一地點相遇。

1848年，英格蘭的J.J. Sylvester首先提出了矩陣（matrix）這個詞，它來源於拉丁語，代表一排數。在1855年矩陣代數得到了Arthur Cayley的進一步發展。Cayley研究了線性變換的組成並提出了矩陣乘法的定義，使得複合變換ST的係數矩陣變為矩陣S和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣的逆在內的代數問題。1858年，Cayley在他的矩陣理論文集中提出著名的Cayley-Hamilton理論，即斷言一個矩陣的平方就是它的特徵多項式的根。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數發展至關重要的。在發展的早期公式

det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數和行列式間提供了一種聯繫。數學家Cauchy首先給出了特徵方程的術語，並證明了階數超過3的矩陣有特徵值及任意階實對稱行列式都有實特徵值；給出了相似矩陣的概念，並證明了相似矩陣有相同的特徵值；研究了代換理論。

數學家試圖研究向量代數，但在任意維數中並沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉及一個不可交換向量積（即V×W≠W×V）的向量代數是由Hermann Grassmann在他的《線性擴張論》（Die lineale Ausdehnungslehre）一書中提出的（1844）。他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結果就是現在稱之為秩數為1的矩陣，或簡單矩陣。在19世紀末美國數學物理學家吉布斯（Willard Gibbs）發表了關於《向量分析基礎》（Elements of Vector Analysis）的著名論述。其後物理學家狄拉克（P.A.M. Dirac）提出了行向量和列向量的乘積為標量。我們習慣的列矩陣和向量都是在20世紀由物理學家給出的。

矩陣的發展是與線性變換密切相連的。到19世紀它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。現代向量空間的定義是由Peano於1888年提出的。

二次世界大戰後隨著現代數字計算機的發展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數值分析等方面。由於計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。於是作為處理離散問題的線性代數，成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。如今大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數、多項式代數。

高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁複。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的並且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也有很大的不同了。也可以這樣說，高等代數就是初等代數的進化，比初等代數更加全面。

不僅是數，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對於這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關於數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合，叫做代數系統。比較重要的代數系統有群論、環論、域論。群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具。現在群的概念已成為現代數學中最重要的，具有概括性的一個數學的概念，廣泛應用於其他部門。

代數學從高等代數總的問題出發，又發展成為包括許多獨立分支的一個大的數學科目，比如：多項式代數、線性代數等。代數學研究的對象，也已不僅是數，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對於這些對象，都可以進行運算。雖然也叫做加法或乘法，但是關於數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括為研究帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合叫做代數系統。比如群、環、域等。

多項式是一類最常見、最簡單的函數，它的應用非常廣泛。多項式理論是以代數方程的根的計算和分佈作為中心問題的，也叫做代數方程論。研究多項式理論，主要在於探討代數方程的性質，從而尋找簡易的解方程的方法。

多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學代數里的內容相同。多項式的整除性質對於解代數方程是很有用的。解代數方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候，所對應的代數方程就沒有解。

我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數就叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世紀日本數學家關孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數學家萊布尼茨。德國數學家雅可比於1841年總結並提出了行列式的系統理論。

行列式有一定的計算規則，利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個數。

因為行列式要求行數等於列數，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又發現了矩陣的理論。矩陣也是由數排成行和列的數表，可以行數和列數相等也可以不等。

矩陣和行列式是兩個完全不同的概念，行列式代表著一個數，而矩陣僅僅是一些數的有順序的擺法。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的係數組成向量空間中的向量；這樣對於一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關係等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應用是多方面的，不僅在數學領域裡，而且在力學、物理、科技等方面都十分廣泛的應用。

把上面分析過的內容綜合起來，組成初等代數的基本內容就是：

三種數——有理數、無理數、複數；

三種式——整式、分式、根式（統稱代數式）；

三類方程——整式方程、分式方程、無理方程（統稱代數方程），

以及由有限多個代數方程聯立而成的代數方程組。

值得注意的是：根據方程的定義，只要是含有未知數的等式，就是方程。這裡之所以要強調”代數方程“，是因為除了代數方程之外，還有超越方程（即非代數的初等方程，包括指數方程、對數方程、三角方程、反三角方程等）、微分方程、差分方程、積分方程等許多其他形式的方程。後面幾類顯然不屬於代數的範疇。一些有關數學史的內容經常將代數定義為“以解方程為核心的學科”，主要是因為歷史上關於代數方程的知識在微積分等近代數學分支建立以前就早有研究了。既然當時都沒有微積分，數學家們又怎能想起建立微分方程的概念呢？

初等代數（elementary algebra）的內容大體上相當於現行中學設置的代數課程的內容，但又不完全相同。比如，嚴格的說，數的概念、排列和組合應歸入算術的內容；函數是分析數學的內容；不等式的解法有點像解方程的方法，但不等式作為一種估算數值的方法，本質上是屬於分析數學的範圍；坐標法是研究解析幾何的，等等。這些都只是歷史上形成的一種編排方法。

初等代數是算術的繼續和推廣，初等代數研究的對象是代數式的運算和代數方程的求解。代數運算的特點是只進行有限次的加、減、乘、除和開方。全部初等代數總起來有十條規則。這是學習初等代數需要理解並掌握的要點。

很多人把高等代數和線性代數混為一談，但其實高等代數是大學數學專業開設的專業課，線性代數是大學中除了數學專業以外的理科，工科和部分醫科專業開設的課程。

代數學、幾何學、分析數學是數學的三大基礎學科，數學的各個分支的發生和發展，基本上都是圍繞著這三大學科進行的。

代數學與另兩門學科的區別，主要在以下兩點：

首先，代數運算是有限次的，而且缺乏連續性的概念。也就是說，代數學主要是關於離散性的。儘管在現實中連續性和不連續性是辯證的統一的，但是為了認識現實，有時候需要把它分成幾個部分，然後分別地研究認識，再綜合起來，就得到對現實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段，也是代數學的基本思想和方法。代數學注意到離散關係，並不能說明這時它的缺點，時間已經多次、多方位的證明了代數學的這一特點是有效的。

其次，代數學除了對物理、化學等科學有直接的實踐意義外，就數學本身來說，代數學也佔有重要的地位。代數學中發生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數學的許多分支，成為眾多學科的共同基礎。