實變函數

實變函數是自變數取實值的函數。以實變函數作為研究對象的數學分支就叫做實變函數論。

微積分產生於十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經基本上成熟了。數學家廣泛地研究並建立起它的許多分支，使它很快就形成了數學中的一大部門，也就是數學分析。

也是在那時，數學家逐漸發現分析基礎本身還存在著許多問題。比如，什麼是函數這個看上去簡單而且十分重要的問題，數學界並沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數學結果，弄不清究竟誰是正確的。又如，對於什麼是連續性和連續函數的性質是什麼，數學界也沒有足夠清晰的理解。

十九世紀初，曾經有人試圖證明任何連續函數除個別點外總是可微的。後來，德國數學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數定義的函數，這個函數是連續函數，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數在任何點上都沒有導數。這個證明使許多數學家大為吃驚。

由於發現了某些函數的奇特性質，數學家對函數的研究更加深入了。人們又陸續發現了有些函數是連續的但處處不可微，有的函數的有限導數並不黎曼可積；還發現了連續但是不分段單調的函數等等。這些都促使數學家考慮，我們要處理的函數，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數的性質。比如，連續函數必定可積，但是具有什麼性質的不連續函數也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什麼樣的？連續函數不一定可導，那麼可導的充分必要條件又是什麼樣的？……

上面這些函數性質問題的研究，逐漸產生了新的理論，並形成了一門新的學科，這就是實變函數。

實變函數論是以實變函數作為研究對象的數學分支，是數學分析的深入與推廣，研究函數的表示與逼近問題以及它們的局部與整體性質。在經典分析中主要研究具有一定階光滑性的函數。但在 19 世紀下半葉，一些問題被明確提出，期望能解答並涉及更寬泛的函數類。

在這些問題中必須提到的有集合的測度，曲線長度與曲面面積，原函數與積分，積分與微分的關係，級數的逐項積分與微分，由極限過程得到的函數的性質等。這些問題的解決對數學發展至關重要，但又非經典分析所能。直至 19 世紀末 20 世紀初，在集合論的基礎上，這些問題才得以解決，同時也完成了現代實變函數論基礎的建立。

現代實變數理論著重於廣泛應用集合論方法，通常分以下三部分:

①描述性理論。研究由極限過程得到的某些函數類的性質。

② 度量理論。研究以集合的測度概念為基礎的函數性質。

③ 逼近理論。例如，連續函數可以用多項式逼近的魏尓斯特拉斯定理。

實變函數論是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。實變函數論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。由於積分歸根到底是數的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集一個數量上的概念，這個概念叫做測度。簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度概念對於實變函數論十分重要。集合的測度這個概念是由法國數學家勒貝格提出來的。

為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念並用來討論積分。1898年，法國數學家波萊爾把容度的概念作了改進，並把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格後來發表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。

勒貝格積分可以推廣到無界函數的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，後來又推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出後來又由黎曼發揚的積分定義廣大多了。也可以看出，實變函數論所研究的是更為廣泛的函數類。

自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以解析地表達出來，連續函數也必定可以用多項式來逼近。這樣，在實變函數論的領域裡又出現了逼近論的理論。

什麼是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數表示成 B類函數的極限，就說 A類函數能以 B類函數來逼近。如果已經掌握了 B類函數的某些性質，那麼往往可以由此推出 A類函數的相應性質。逼近論就是研究一類函數用另一類函數來逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出現的各種情況。

和逼近理論密切相關的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數出發構造出新的函數類型的理論，這種理論叫做函數構造論。

總之，實變函數論和古典數學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數學各個分支中的應用是現代數學的特徵。

實變函數論不僅應用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的應用，對形成近代數學的一般拓撲學和泛函分析兩個重要分支有著極為重要的影響。