微分流形

參見條目：流形

具體說來，設M是一個豪斯多夫拓撲空間。U是M的開集，h是U到n維歐氏空間R的開集(常取為單位球內部或立方體內部等等)上的一個同胚映射，則(U，h)稱為一個坐標圖，U稱為其中點的一個坐標鄰域。設M為開集系{Uα}所復蓋，則(Uα，hα)的集合稱為M的一個坐標圖冊。如果M的坐標圖冊中任何兩個坐標圖都是C相關的，則稱M有C微分結構，又稱M為n維的C微分流形。C相關是指流形M上同一點的不同坐標之間的變換關係是C可微分的(k=0，1，…，∞或ω)，依通常記號C表示解析函數。具體來說，如p∈Uα∩Uβ，(x，)(x)(i=1，…，n)分別是p在兩個坐標圖(Uα，hα)，(Uβ，hβ)下的(局部)坐標，即那麼它們之間的關係式可表為而ƒ關於x(j=1，2，…，n)具有直到k次的連續導數。k=0時，M是拓撲流形；k>0時，就是微分流形；k=ω時，是解析流形。C流形又常稱為光滑流形。如果微分流形M是一個仿緊或緊緻拓撲空間，則稱M為仿緊或緊緻微分流形。如果可選取坐標圖冊使微分流形M中各個坐標鄰域之間的坐標變換的雅可比行列式都大於零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。

同一拓撲流形可以具有本質上不同的微分結構。米爾諾(John Milnor)首先發現作為一個拓撲流形，七維球面上可有不同於標準微分結構的怪異微分結構。後來弗里德曼(Michael Freedman)等得出如下的重要結果：四維歐氏空間中也有多種微分結構，這與其他維數的歐氏空間只有惟一的微分結構有著重大區別。

設φ是從C流形M到C流形N的連續映射，如果對於N上的任意Cr函數ƒ，M上的函數ƒ。φ總是Cr的，則稱φ是Cr可微映射，或簡稱Cr映射。如果φ是從M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，則稱φ為微分同胚，此時也稱M與N是微分同胚的微分流形。

設φ是從M到N的C映射。對M上點p的切向量x可以如下地定義N在點φ(p)處的切向量x┡：

這個對應x→x┡用dφP表示，稱為φ在點p處的微分。微分dφP是從切空間TP(M)到

(N)的線性映射，有時也稱為φ在切空間的誘導映射，常用φ*P或φ*表示。利用對偶性，φ也自然地誘導了從餘切空間

到T壩的線性映射，常記為(dφP)或φ壩或φ。由張量積運算，φ還可以誘導對應點之間某些張量空間之間的線性映射。

設M和N是兩個C流形，φ：M→N是C映射。如果微分dφP在M的每一點都是單射，則稱φ是浸入，而φ(M)稱為N的浸入子流形。如果浸入φ還是單射，則稱為嵌入，此時φ(M)稱為N的嵌入子流形。

微分流形上可以定義可微函數、切向量、切向量場、各種張量場等對象並建立其上的分析學，並可以賦予更複雜的幾何結構以研究它們的性質。

流形M上的實數值連續函數f:M→R是一個光滑函數，如果對每一個相容的坐標卡ρ：U→M，f(ρ):U→R是一個U上的光滑函數。因為坐標卡之間的坐標變換是光滑映射，這是一個良好的定義。特別的，光滑函數可以看成一種0階張量場。

設p∈M，M在點p處的一個切向量是指從F（M）到R的一個線性映射x，使得對於任意的ƒ，g∈F(M)，滿足：

對於在p點的切向量x1，x2和實數λ1，λ2，定義λ1x1+λ2x2如下：那麼，點p處的切向量全體構成一個n維的實線性空間TP，TP稱為在p處M的切空間或切向量空間(也記為TP(M))。如果（x，x，…，x）為點p處

的局部坐標系，則由

定義的n個獨立的切向量，構成TP的一組基，稱為自然標架（或坐標標架）。M的切向量全體構成以M為底空間的向量叢（見纖維叢），稱為M的切向量叢，簡稱切叢。M的切叢的一個截面稱為M上的一個向量場。在局部坐標系中，向量場可表成

的形式，式中ξ(x)是坐標(x)的C函數。

TP的對偶空間稱為M在點p處的餘切空間，記為T壩。T壩中的元素稱為餘切向量，也稱協變向量。M的餘切向量全體構成M的餘切向量叢，簡稱餘切叢，它的截面稱為M上的一次微分形式。“1=2”

由切空間和餘切空間通過張量積的運算可以得到M在點p處的各種(r，s)型張量，M的(r，s)型的張量全體構成張量叢，它的截面就是M上的一個(r，s)型張量場（見多重線性代數、張量）。

在微分流形上還可以定義外微分形式(見外微分形式)。p次外微分形式(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的，即是p階反對稱協變張量，

M上p次外微分形式的全體構成一個實數域上的無限維向量空間E。對外微分形式可以進行加法運算(同次外微分形式可以相加)，外積運算(p次外微分形式與q次外微分形式的外積是一個(p+q)次外微分形式)，還可以進行外微分運算及積分運算。在局部坐標下，外微分運算為

(3)設ω∈E且dω=0，則稱ω為閉形式。M上p次閉形式的全體構成E的一個子空間記為Z。設ω∈E，且ω=dσ(σ∈E，則稱ω為正合形式。正合形式一定是閉形式。M上p次正合形式的全體也構成E的一個子空間記為B，B嶅Z。商空間(4)稱為p次德·拉姆上同調群(de Rham cohomology group)。

我們可以在微分流形上賦予不同的幾何結構（即一些特殊的張量場）。不同的幾何結構就是微分幾何不同的分支所研究的主要對象。

黎曼度量

主條目：黎曼幾何

仿緊微分流形均可賦予黎曼度量（見黎曼幾何），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度，面積，體積等幾何量。

近復結構和複流形

參見：複流形

微分流形M上的一個近復結構是M的切叢TM的一個自同構，滿足J·J=-1。如果近復結構是可積的，那麼我們就可以找到M上的全純坐標卡，使得坐標變換是全純函數。這時我們得到了一個複流形。

辛流形

參見：辛幾何

微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式。這樣的流形成為辛流形。

在拓撲學中四維是一個非常特殊的維數。譬如斯梅爾的龐加萊猜想的證明只應用於大於四維的維數，他的h-配變定理不能應用於四維流形。而弗里德曼的對四維龐加萊猜想的證明則更複雜。而且人們發現，存在四維拓撲流形，在其上不能賦予任何微分結構。而四維歐式空間是唯一一個存在怪異微分結構的歐式空間。

對四維微分流形的研究中具有里程碑意義的是英國數學家西蒙·唐納森的工作。他的想法來源於理論物理中的規範場理論。他由此定義了被稱為唐納森不變數的四維微分流形的不變數。後來物理學家賽博格和愛德華·威騰將唐納森不變數簡化為一種更易於計算的不變數，後來被稱作賽博格-威騰不變數（Seiberg-Witten invariants）。這些不變數都大大推進了人們對四維微分流形的理解。

而對於四維拓撲流形，許多問題還沒有解決。其中最重要的是四維流形的光滑龐加萊猜測：（作為一個拓撲流形）四維球面上只存在標準的微分結構。