外積

把向量外積定義為：

符號表示：a× b

大小：|a|·|b|·sin.

方向：右手定則：若坐標系是滿足右手定則的，設z=x×y,|z|=|x||y|*sin；則x,y,z構成右手系，伸開右手手掌，四個手指從x軸正方向方向轉到y軸正方面，則大拇指方向即為z正軸方向。

外積的坐標表示：

（x1,y1,z1）×（x2,y2,z2）=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1）

a× (b+c) = a ×b +a ×c

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數方法。我們假定已經知道了：

1）外積的反對稱性：

a× b= - b× a.

這由外積的定義是顯然的。

2）內積（即數積、點積）的分配律：

a·（b+ c) = a·b+ a·c,

（a+ b）·c= a·c+ b·c.

這由內積的定義a·b= |a|·|b|·cos；，用投影的方法不難得到證明。

3）混合積的性質：

定義（a×b）·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：

i) (a×b）·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積

，其正負號由a,b,c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。

簡單證明：體積V=底面積S×高h

=|a×b|×|h|

=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)

=|a×b|×(c·h)/|h|

而|h|=|a×b|

所以 V=c··(a×b）

從而就推出：

ii) (a×b）·c= a·（b×c)

所以我們可以記a,b,c的混合積為（a,b,c).

由i）還可以推出：

iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)

我們還有下面的一條顯然的結論：

iv) 若一個矢量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。

下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。

設r為空間任意矢量，在r·（a×（b+ c））里，交替兩次利用3）的ii）、iii）和數積分配律2），就有

r·（a×（b + c))

徠= (r×a)·（b+ c)

= (r×a）·b+ (r×a）·c

= r·（a×b) + r·（a×c)

= r·（a×b+ a×c)

移項，再利用數積分配律，得

r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0

這說明矢量a×（b+ c) - (a×b+a×c）垂直於任意一個矢量。按3）的iv），這個矢量必為零矢量，即

a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0

所以有

a×（b+ c) = a×b+a×c.

證畢

向量二重外積公式：a × (b ×c) = b(a · c) − c(a ·b)

由於二重向量叉乘的計算較為複雜，於是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：