點積

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系，向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的 長度和 角度等幾何概念來求解。

在一個向量空間中，定義在 上的正定對稱雙線性形式函數即是的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

設二維空間內有兩個向量 和，

定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的內積定義如下：

設二維空間內有兩個向量 和，和 表示向量和的大小，它們的夾角為，則內積定義為以下實數：

該定義只對二維和三維空間有效。

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

以三維空間為例子。

①幾何定義推導代數定義

設， ，根據向量坐標的意義可知

根據點乘的分配律得

又

所以

注意：點乘的分配律在空間內可通過幾何證明，無需藉助向量關係，因此不屬於循環推導。

點乘分配律的幾何證明：

,時上式是成立的；

時，

②代數定義推導幾何定義

設， 它們的終點分別為 和，原點為，夾角為。則

在中，由余弦定理得：

利用距離公式對這個等式稍作處理，得

去括弧、合併得

注意：餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。

u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大於90度；如果為零，那麼u,v垂直；如果為正，那麼u,v形成的角為銳角。

兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是面向攝像機還是背向攝像機。

向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物體離光照的軸線越近，光照越強。

交換律：

分配律：

結合律： ，其中m是實數。

平面向量的數量積 a· b是一個非常重要的概念，利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明：

（1）勾股定理：　，則 | CA|²+| CB|²=| AB|²。

∵ AB = CB- CA

∴AB² =( CB- CA)²= CB· CB-2 CA· CB+ CA· CA

又∵ ，有，於是 CA· CB

∴

（2）菱形對角線相互垂直：菱形中，點為對角線的交點，求證

設 | AB|=| BC|=| CD|=| DA|

∵ AC=( AB+ BC)， BD=( BC+ CD)

∴ AC· BD=( AB+ BC)·( BC+ CD)

又∵

∴ AC· BD=( AB+ BC)·( BC+ CD)

∴

在生產生活中，點積同樣應用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。物理中，點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。矢量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一，此方法還被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

線性變換中點積的意義：

根據點積的代數公式：，假設a為給定權重向量，b為特徵向量，則其實為一種線性組合，函數則可以構建一個基於 （c為偏移）的某一超平面的線性分類器，F是個簡單函數，會將超過一定閾值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。