數理經濟學

西方第一個把數學用於經濟問題的是義大利的切瓦，他於1711年寫了一本關於貨幣價值的書。但首先比較系統地運用數學的，是1838年法國奧古斯丹·古諾的《財富理論數學原理的研究》，這書常被當做數理經濟學的開端。

由於當時的經濟理論權威們不熟悉數學推理，而無人問津，直到40年後因受到英國的傑文斯和法國的瓦爾拉斯的高度推崇，才知名於世，並被當做數理經濟學和數理學派的正式起源。此後英國的埃奇沃思、馬歇爾、美國的費希爾、義大利的帕累托等進一步發展了數理經濟學。庫爾諾並沒有用過“數理經濟學”的名稱，他採用的書名用意不僅在於理論研究，而且在研究中要運用數學分析的形式和符號。他認為在財富理論中運用數學分析，是為了探索不能用數字錶現的數量之間的關係，和不能用代數表現的函數之間的關係；即使不需要精確數字，只要能更簡明地陳述問題、開闢研究途徑、避免脫離主題，數學也有其有用之處，如果僅僅因為不熟悉或怕用錯而拒絕數學分析，是荒謬的。

傑文斯1862年發表的論文《略論政治經濟學的一般數學理論》是數理經濟學的最早名稱，到1879年他的主要著作《政治經濟學理論》一書再版時，附上1711年以來的“數學的經濟的”文獻目錄，等於公開宣稱數理經濟學的存在。他認為經濟學要成為一門科學，必須是一門依賴於數學的科學，簡單原因就是研究數量和數量之間的複雜關係，必須進行數學推理，即使不用代數符號，也不會減少這門科學的數學性質。

他把商品對所有者的效用分為總效用和最後程度的效用(即後來的邊際效用)，後者是商品擁有或消費總量增加時，總效用增加量對商品增加量的比率。

他認為隨著商品擁有量的增加。最後程度的效用會逐漸降低，並據此用數學方法推出：一種商品所有者和另一種商品所有者互相交換商品可以增加總效用，交換要進行到兩種商品的最後程度效用相等、總效用最大達到均衡時才停止瓦爾拉斯在1874年出版的《純粹政治經濟學綱要》一書中認為，純粹經濟學實質上就是在假設完全自由競爭制度下，關於價格決定的理論；價格存在是因為商品具有數量有限和有用的自然條件，只要有交換就會有交換價值。

交換價值是個可計量的數量，正是一般數學的研究對象，所以交換價值的理論應該是數學的一個分支；數學方法並不是實驗方法而是推理方法，經濟學的純粹理論也象“物理-數學的”科學一樣，從經驗的真實概念中抽象出理想的概念作為基礎，可以超出經驗範圍進行推理，在建成這個科學后再回到實際，也不是為了驗證，而是為了應用。

仍然限於局部分析，沒有同時照顧全局，瓦爾拉斯企圖用數學方法加以補救。應用

數學在現代經濟理論中的應用越來越廣泛，一方面運用數學方法研究的理論領域還在擴大；另一方面，對前人研究過的問題還不斷運用更深奧的數學方法進行更深入的探討20世紀60年代以後，數理經濟學和微積分、集合論、線性模型結合在一起，同時數學方法的運用幾乎遍及經濟學的每個領域。續前進利用數學方法研究經濟問題，有利於發現經濟問題的實質，指明經濟問題的發展、變化的趨勢。如今研究經濟問題時，進行數學分析已經是不可或缺的方面，任何脫離了數學的經濟問題分析都會被認為是不可靠的。隨著人們對經濟活動認識的深入，數理經濟學也在不斷的發展、完善。

由於數理經濟學只是在理論研究中運用數學推理，所以歸入這一類的經濟學並不意味著都以某種特定的經濟事物作為共同的研究對象，也不一定在理論上和觀點上彼此完全一致，數理經濟學研究的主要問題，也因人因時而異。

數學在西方經濟理論中的應用，近半個多世紀以來還在不斷發展，一方面運用數學方法研究的理論領域還在擴大；另一方面，對前人研究過的問題還不斷運用更深奧的數學方法進行更深入的探討。前者如：英國J.M.凱恩斯和各派凱恩斯主義的各種宏觀經濟模型；個人偏好如何匯總為社會選擇及其與社會福利函數的關係；最優增長理論等。後者如瓦爾拉斯首創的一般均衡體系就不斷成為理論上繼續研究的重點，因為他只把方程式和未知數個數相等作為得到均衡解的條件，同時卻忽視均衡怎樣實現和是否穩定。

從30年代起英國的J.R.希克斯（1904～1989.5.20）和美國的P.薩繆爾森就此進行精密的數學分析和求解，但仍以微積分為主要工具，要受連續函數的不切實際假定的限制，所以J.馮·諾伊曼（1903～1957）、K.J.阿羅（1921～ ）、G.德布魯（1921～2004.12.31）等先後用集合論和線性模型展開新的探索。60年代以後數理經濟學和微積分、集合論、線性模型結合在一起，同時數學方法的運用幾乎遍及資產階級經濟學的每個領域。第二次世界大戰以後，經濟生活的需要和電子計算機的發明，促使與數理經濟學有關的經濟計量學得到迅速發展，它反過來又推動數理經濟學繼續前進。

數理經濟學雖然對分析經濟事物的數量關係取得一些成就，但它在一定程度上忽視經濟事物的質的方面，特別是忽視對生產關係的研究。這種研究方法具有很大的局限性，特別是對揭露社會經濟關係的規律和實質的研究沒有多少應用的價值。

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例如：庫爾諾的著作問世正是資產階級在英國和法國取得政權，古典政治經濟學的科學成份被抹殺的時代。他指責政治經濟學理論所研究的關係，不是難以簡化成確定的術語，就是太複雜無法處理，以致對改善人類命運的目標無所進展。他認為把財富的概念定義為物品在交換中的價值，才是確定的關係，可以當作理論推演的對象，這樣推演的結果多了，集成體系，既可以獨立存在，也可應用於政治經濟學有關部門，這就是他要建立的財富理論。他最早用商品需求量（或銷售量）取決於價格的函數形式表示需求規律，並且利用微積分求極值的原理和均衡分析法，推演出能使商品總交換價值最大的價格，以及在壟斷、雙頭壟斷、寡頭壟斷和無限制競爭等情況下決定產量和價格的規律，對後來資產階級微觀經濟學和數理學派的影響很大。他雖然反對把財富和主觀效用聯繫在一起，但卻同意J.-B.薩伊的大部分庸俗經濟學觀點。

傑文斯的目的是要為價值的最終理論以及建立在這個理論之上的市場規律提供數學解說。他的理論中心是“價值完全由效用決定”。他把商品對所有者的效用分為總效用和最後程度的效用（即後來的邊際效用），後者是商品擁有（或消費）總量增加時，總效用增加量對商品增加量的比率。他認為隨著商品擁有量的增加，最後程度的效用會逐漸降低，並據此用數學方法推出：一種商品所有者和另一種商品所有者互相交換商品可以增加總效用，交換要進行到兩種商品的最後程度效用相等、總效用最大、達到均衡時才停止，這時兩種商品在兩個所有者之間的交換比率應該等於交換完成後兩種商品的最後程度效用的反比。瓦爾拉斯的主要理論是建立在邊際效用價值論之上的一般均衡理論體系。庫爾諾雖然也考慮過個別商品的產、銷、進出口對其他商品生產者的收入會產生反作用，但仍然限於局部分析，沒有同時照顧全局。

瓦爾拉斯企圖用數學方法加以補救。他設計了四個互相依存的方程組進行分析，即各種生產勞務的總供給函數、各種產品總需求函數、每種生產勞務用於各種產品生產的消耗總和等於該種勞務的總供給量、每種產品的售價等於該種產品在生產中需要的生產勞務的費用。他認為，由於四個方程組的方程式總數等於未知數（各種生產勞務的價格和總供給量、各種產品的售價和總需求量）的總數，所以在理論上可以得出均衡解。

埃奇沃思最早研究商品各種議價的經濟後果，並且提出無差異曲線的概念以便避免用貨幣作為計量邊際效用的固定單位，后經帕累托改進，用以代替邊際效用，作為一般均衡的理論基礎。馬歇爾的理論核心是認為一種商品的均衡價格就是在其他情況不變時，該商品的需求價格與供給價格達到一致時的價格，所以又稱為局部均衡論。費希爾對傳統的貨幣數量論作了新的表述，提出後來在西方經濟學里廣泛採用的交易方程式，即

貨幣流通量×流通速度+支票存款數量×流通速度=商品平均價格×商品交易量