格奧爾格·康托爾

康托爾，1862年入蘇黎世大學學工，翌年轉入柏林大學攻讀數學和神學，受教於庫默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以解決一般整係數不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題的論文獲博士學位。畢業后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數論轉向嚴格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學任教（1869-1913）的初期證明了複合變數函數三角級數展開的唯一性，繼而用有理數列極限定義無理數。1872年成為該校副教授，1879年任教授。由於學術觀點上受到的沉重打擊，康托爾曾一度患精神分裂症，雖在1887年恢復了健康，繼續工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學附屬精神病院去世。

康托爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數學方面的興趣是數論，1870年開始研究三角級數並由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數學成就——集合論和超窮數理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創立過程中所涉及的數理哲學問題.1888-1893年康托爾任柏林數學會第一任會長，1890年領導創立德國數學家聯合會並任首屆主席。

康托爾對數學的貢獻是集合論和超窮數理論。

兩千多年來，科學家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰。康托爾以其思維之獨特，想象力之豐富，方法之新穎繪製了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數理論，令19、20世紀之交的整個數學界、甚至哲學界感到震驚。可以毫不誇張地講，“關於數學無窮的革命幾乎是由他一個人獨立完成的。”

19世紀由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們提出了一系列重要問題，並對無理數理論、不連續函數理論進行認真考察，這方面的研究成果為康托爾後來的工作奠定了必要的思想基礎。

康托爾是在尋找函數展開為三角級數表示的唯一性判別準則的工作中，認識到無窮集合的重要性，並開始從事無窮集合的一般理論研究。早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數學雜誌》上發表論文，證明了函數f(x)的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數學年鑒》上發表了一篇題為《三角級數中一個定理的推廣》的論文，把唯一性的結果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然後引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，並為點集論奠定了理論基礎。以後，他又在《數學年鑒》和《數學雜誌》兩刊上發表了許多文章。他稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識到並且能判斷一個給定的東西是否屬於這個總體。他還指出，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。他又給出了開集、閉集和完全集等重要概念，並定義了集合的並與交兩種運算。

為了將有窮集合的元素個數的概念推廣到無窮集合，他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念。兩個集合只有它們的元素間可以建立一一對應才稱為是等價的。這樣就第一次對各種無窮集合按它們元素的“多少”進行了分類。他還引進了“可列”這個概念，把凡是能和正整數構成一一對應的任何一個集合都稱為可列集合。1874年他在《數學雜誌》上發表的論文中，證明了有理數集合是可列的，後來他還證明了所有的代數數的全體構成的集合也是可列的。至於實數集合是否可列的問題，1873年康托爾給戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出過，但不久他自己得到回答：實數集合是不可列的。由於實數集合是不可列的，而代數數集合是可列的，於是他得到了必定有超越數存在的結論，而且超越數“大大多於”代數數。同年又構造了實變函數論中著名的“康托爾集”,給出測度為零的不可數集的一個例子。他還巧妙地將一條直線上的點與整個平面的點一一對應起來，甚至可以將直線與整個n維空間進行點的一一對應。從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”，其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數學成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應用。第五篇論文後來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎》。第六篇論文是第五篇的補充。康托爾的信條是：“數學在它自身的發展中完全是自由的，對他的概念限制只在於：必須是無矛盾的，並且與由確切定義引進的概念相協調。……數學的本質就在於它的自由。”

《一般集合論基礎》（以下簡稱《基礎》）在數學上的主要成果是引進超窮數，在具體展開這一理論的過程中，康托爾應用了以下幾條原則：

第一生成原則：從任一給點的數出發，通過相繼加1（個單位）可得到它的後繼數。

第二生成原則：任給一個其中無最大數的序列，可產生一個作為該序列極限的新數，它定義為大於此序列中所有數的後繼數。

第三（限制）原則：保證在上述超窮序列中產生一種自然中斷，使第二數類有一個確定極限，從而形成更大數類。

反覆應用三個原則，得到超窮數的序列

ω，ω1，ω2，…

利用先前引入的集合的勢的概念，康托爾指出，第一數類（Ⅰ）和第二數類（Ⅱ）的重要區別在於（Ⅱ）的勢大於（Ⅰ）的勢。在《基礎》的第十三章，康托爾第一次指出，數類（Ⅱ）的勢是緊跟在數類（Ⅰ）的勢之後的勢。

在《基礎》中，康托爾還給出了良序集和無窮良序集編號的概念，指出整個超窮數的集合是良序的，而且任何無窮良序集，都存在唯一的一個第二數類中的數作為表示它的順序特性的編號。康托爾還藉助良序集定義了超窮數的加法、乘法及其逆運算。

《對超窮數論基礎的獻文》是康托爾最後一部重要的數學著作，經歷了20年之久的艱苦探索，康托尓希望系統地總結一下超窮數理論嚴格的數學基礎。《獻文》分兩部分，第一部分是“全序集合的研究”，於1895年5月在《數學年鑒》上發表。第二部分於1897年5月在《數學年鑒》上發表，是關於“良序集的研究”。《獻文》的發表標誌集合論已從點集論過渡到抽象集合論。但是，由於它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當的限制便會導出悖論，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。

由康托爾首創的全新且具有劃時代意義的集合論，是自古希臘時代的二千多年以來，人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統和確定的運算，它從本質上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發生了一次革命性的變化，並滲透到所有的數學分支，從根本上改造了數學的結構，促進了數學的其他許多新的分支的建立和發展，成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯和哲學帶來了深遠的影響。不過康托爾的集合論並不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續統假設”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀之交發現的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產生了嚴重的懷疑。加之集合論的出現確實衝擊了傳統的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數學家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對的最激烈的是柏林學派的代表人物之一、構造主義者克羅內克。克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象，他反對無理數和連續函數的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數理論不是數學而是神秘主義。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無內容。除了克羅尼克之外，還有一些著名數學家也對集合論發表了反對意見。法國數學家龐加萊（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）說：“我個人，而且還不只我一人，認為重要之點在於，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當作一個有趣的“病理學的情形”來談，並且預測說：“后一代將把（Cantor）集合論當作一種疾病，而人們已經從中恢復過來了”。德國數學家外爾（Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）認為，康托爾關於基數的等級觀點是“霧上之霧”。克萊因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不贊成集合論的思想。數學家H．A．施瓦茲原來是康托爾的好友，但他由於反對集合論而同康托爾斷交。集合論的悖論出現之後，他們開始認為集合論根本是一種病態，他們以不同的方式發展為經驗主義、半經驗主義、直覺主義、構造主義等學派，在基礎大戰中，構成反康托爾的陣營。

1884年，由於連續統假設長期得不到證明，再加上與克羅內克的尖銳對立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。他的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論，從此深深地捲入神學、哲學及文學的爭論而不能自拔。不過每當他恢復常態時，他的思想總變得超乎尋常的清晰，繼續他的集合論的工作。

康托爾的集合論得到公開的承認和熱情的稱讚應該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數學家大會上表現出來。瑞士蘇黎世理工大學教授胡爾維茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的綜合報告中，明確地闡述康托爾集合論對函數論的進展所起的巨大推動作用，這破天荒第一次向國際數學界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學，而是真正對數學發展起作用的理論工具。在分組會上，法國數學家阿達瑪（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17），也報告康托爾對他的工作的重要作用。隨著時間的推移，人們逐漸認識到集合論的重要性。希爾伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度讚譽康托爾的集合論“是數學天才最優秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數學家大會上，希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性，並把康托爾的連續統假設列入20世紀初有待解決的23個重要數學問題之首。當康托爾的樸素集合論出現一系列悖論時，克羅內克的後繼者布勞威爾（1881.2.27－1966.12.2）等人藉此大做文章，希爾伯特用堅定的語言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創造的伊甸園中驅趕出來”。