費馬大定理

故事涉及到三位相隔2600多年的數學家，第一位是古希臘數學家畢達哥拉斯，他活動在公元前500年左右；第二位是古希臘的丟番圖，活動於公元前250年前後；第三位是法國的費爾馬。活動於公元1620年前後。

1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中有關於畢達哥拉斯不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整數解的這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何一個整數的立方，不能分成其他另兩個數的立方之和；任何一個整數的四次方，也不可能分成為其他另兩個數的四次方數之和，更一般來說，不可能將一個高於二次冪的任何整數冪再分成兩個其他另兩個同次冪數之和。我已發現了這個定理的絕妙證法，可惜這裡頁面的空白地方太小，寫不下。”

費爾馬去世后，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。後來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如x^n ＋y^n ≠ z^n 的整數不等式公式成立。即不可能把當n為大於2時的整數不等式改寫成正整數方程。

費爾馬是一位業餘數學愛好者，被譽為“業餘數學家之王”。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時期是在家裡受的教育。長大以後，父親送他在大學學法律，畢業后當了一名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。

他酷愛數學，把自己所有的業餘時間都用於研究數學和物理。由於他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身於17世紀大數學家之列。

當整數n>2時，關於的方程沒有正整數解。

他斷言當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

德國人沃爾夫斯凱爾曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世后一百年內，第一個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的“證明”。

費馬大定理被提出后，經歷多人猜想辯證，歷經三百多年的歷史，最終在1995年，英國數學家安德魯·懷爾斯宣布自己證明了費馬大定理。

費馬大定理與黎曼猜想已經成為廣義相對論和量子力學融合的m理論幾何拓撲載體。

起初，數學家們想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“絕妙證法”，著名數學家歐拉用一個只有無理數存在的無理數等式方程公式來作假證明費馬大定理，他用素數定理對無理數集合中的無理數解析后得到了這樣一個結論，由於無理數集合中無正整數組存在，故無理數方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整數解，故費馬大定理中當指數N為3和4時正確。這是歐拉的絕妙斷言。

因為任何一個大於2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素數時都沒有正整數解，費爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形歐拉已經證明過了，所以，問題就集中在證明n等於奇素數的情形了。

在歐拉證明了 n=3， n＝4以後， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自用歐拉的“無理數法”獨立作假證明了 n＝5的情形， 1839年拉梅作假證明了 n＝7的情形。就這樣，一個又一個奇素數證下去的長征便開始了。

其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數加無理數作假法的方法，引入了自己發明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費爾馬大定理只可能在n等於某些叫非正則素數的值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體用無理數作假法證明了當 n＝37、59、67時，無理數方程xn＋ yn＝zn是只有無理數解，不可能有正整數解的。這就算把費爾馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”用無理數作假法證明了費馬大定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。

這一“長征”式的無理數作假證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1972年更推進到n＝100000了，但這並不等於定理被證明。看來，需要另闢蹊徑。再說，用無理數代數方程公式來證整數的費馬大定理的整數不等式，好像不符合數學規則，因為無理數與整數不是同一個數域的數，證明了無理數中無一個整數，也不能說明整數中是有解還是沒有解，他們的斷言不一定正確，這好像是作假證明法。起碼可以說這種證明方法是不正確的。

10萬馬克獎給誰

從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。

哥庭根科學會宣布，獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。

10萬馬克在當時是一筆很大的財富，而費爾馬大定理又是中學生都能聽懂題意的問題。於是，不僅專搞數學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鑽研這個問題。在很短時間內，各種刊物公布的證明就有上千個之多。

當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜誌，自願對這方面的論文進行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個“證明”，全都是錯的。後來實在受不了沉重的審稿負擔，於是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶湧澎湃，雖然兩次世界大戰後德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續從事這一工作。

最後這筆獎金還是被人騙走了，他們是作假集團，他們用無理數等式方程 X^N+Y^ =Z^ 證明這個公式無整數解，他們用無理數作假證明法成功騙走了這筆獎金。

費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，推動了數論的發展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。其中歐拉證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理；費馬自己證明了n=4的情形。

1825年，狄利克雷和勒讓德證明了n=5的情形，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

1839年，法國數學家拉梅證明了n=7的情形。

1753年瑞士著名數學家歐拉，在寫給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想，1770年其證明發表在《代數指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如數系的唯一因子分解定理，這一方法也被後人多次引用。 

1816年巴黎科學院把費馬猜想轉化簡化歸結為n是奇素數的情況，認為費馬猜想應該成立，並稱之為費馬大定理（以區別費馬關於同餘的小定理），並為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。

費馬自己證明了n=4的情形。

十九世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼證明了當n和2n+1都是素數時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數。在此基礎上，1825年德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

1839年，法國數學家拉梅對熱爾曼方法作了進一步改進，並證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；於是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。

1844年，庫默爾提出了“理想數”概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。

1847年，巴黎科學院上演戲劇性一幕， 當時著名數學家拉梅和柯西先後宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。大數學家都被扯入其中，似乎結論十分可靠。就在此時劉維爾宣讀了德國數學家庫默爾的來信，明確指出證明中的複數系的唯一因子分解定理並不普遍成立，於是拉梅和柯西的證明都是錯的。

大約在1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是歐拉、熱爾曼創立的試圖證明費馬大定理的方法關鍵，於是他創立了一種“理想數環”理論，據說這一思想也受其老師高斯啟發，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n=7久思不解。學生庫默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。

庫默爾之後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀前期大數學家勒貝格向巴黎科學院提交了一個費馬大定理的證明論稿，由於勒貝格當時的權威聲望，大家都以為這下問題解決了，但經過廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發現大數學家的分析證明還是錯的。

1908年，哥廷根皇家科學協會公布沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者將獲得100000馬克獎勵。提供該獎者沃爾夫斯凱爾是德國實業家，年輕時曾為情所困決意在午夜自殺，但在臨自殺前讀到庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤讓他情不自禁地計算到天明，設定自殺時間過了，他也放不下問題的證明，數學讓他重生並後來成為大富豪，1908年這位富豪去世前，遺囑將其一半遺產捐贈設獎，以謝其救命之恩。

從此世界上每年都會有成千上萬人宣稱證明了費馬大定理，但全部都是錯的，一些數學權威機構，不得不預寫證明否定書。

1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想．按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的“虧格”大於或等於2時，最多只有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，並且隨著抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。

而費馬多項式 沒有奇點，其虧格為。當 時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，如果莫德爾猜想成立，那麼費馬大定理中的方程 本質上最多有有限多個整數解。

1983年，德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而翻開了費馬大定理研究的新篇章．法爾廷斯也因此獲得1986年菲爾茲獎。

1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯繫；谷山的猜測后經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。

1958年英國數學家Birch和Swinnerton--Dyer構造了橢圓曲線E的L（E，s）函數，他們對該函數在s=1處的零點與橢圓曲線E上的有理點關係給出了一個簡稱BSD猜想。

1984年，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研討會上宣稱：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化（一個命題：假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數使得，那麼用這組數構造出的形如乘以的橢圓曲線，不可能是模曲線。），也就是說谷山---志村猜想將不成立。但弗雷構造的所謂“弗雷曲線”不可模形式化也說不清具體證明細節，因此也只是猜想，被稱為“弗雷命題”，弗雷命題如得證，費馬大定理就與谷山---志村猜想等價。

1986年美國加州大學伯克利分的肯.里貝特教授，為證明弗雷命題己奮鬥了十八個月，曾親耳聽到弗雷當年演講的里貝特深信自己能證明弗雷命題，但久攻未克，這年夏天哈佛大學教授巴里.梅袓爾來伯克利訪問並參加國際數學家大會，有一次里貝特與他起喝咖啡，便研討起弗雷命題，梅袓爾的一個提醒讓里貝特恍然大悟，里貝特隨即完成了弗雷命題的證明，併當即在這屆國際數學家大會內外傳開。世界數學界為之興奮。

1993年6月，英國數學家安德魯·懷爾斯宣稱證明：對有理數域上的一大類橢圓曲線，“谷山—志村猜想”成立。由於他在報告中表明了弗雷曲線恰好屬於他所說的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終證明了“費馬大定理”；但專家對他的證明審查發現有漏洞。懷爾斯不得不努力修復著一個看似簡單的漏洞。

懷爾斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的時間，用之前一個懷爾斯曾經拋棄過的方法修補了這個漏洞，這部份的證明與岩澤理論有關。這就證明了谷山-志村猜想，從而最終證明了費馬大定理。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》（Annals of Mathematics）之上。

懷爾斯因此獲得1998年國際數學家大會的特別榮譽，一個特殊製作的菲爾茲獎銀質獎章。

1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到里貝特證明弗雷命題后，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，並且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，精心梳理有關領域的基本理論，為此準備了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。接下來的要將兩種“排隊”序列對應配對，這一步他兩年無進展。此時他讀博時學的岩澤理論一度取得實效，到1991年他之前的導師科茨告訴他有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有重大進展。

1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為“L函數和算術”的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，於是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講人們意識到谷山—志村猜想已經證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·里貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個都非常困難，問題是懷爾斯的最後證明，他變為完成費馬大定理證明的最後一棒。

1993年6月23日從劍橋牛頓學院傳出費馬大定理被證明之後，世界媒體鋪天蓋地般報道了該喜訊。

但此刻數學界反倒十分冷靜，明確指出論證還需仔細審核，因為歷史上曾多少次宣布證明但後來被查證錯誤。懷爾斯的證明被分為6個部分分別由6人審查，其中由凱茲負責的第三部分查出關於歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金—弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對此無能為力，1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。一時間懷爾斯的證明被認為是歷史上拉梅、柯西、勒貝格、里貝特（里貝特也曾稱證明了谷山—志村猜想）錯誤證明的又一例子。1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理查德·泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金—弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。泰勒準備再過一個月後回劍橋，然後懷爾斯正式公布手稿，承認證明失敗，1994年9月19日懷爾斯想自己證明失敗原因該怎麼寫，回顧自己是先用岩澤理論未能突破而後用科利瓦金—弗萊切方法，又對該法一類特殊歐拉系出了問題，這樣一想，突然又想到何不再用岩澤理論結合科利瓦金—弗萊切方法試試？問題解法就是這樣，懷爾斯絕處逢生，修補了漏洞。1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發送了費馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長文“模形橢圓曲線和費馬大定理”，作者安德魯·懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數的環理論性質”作者理查德·泰勒和安德魯·懷爾斯。至此費馬大定理得證。 

1995年，他們把證明過程發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，證明過程包括兩篇文章，共130頁，佔滿了全卷，題目分別為Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem （模形橢圓曲線和費馬大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代數的環理論性質） 。

安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles），英國著名數學家、牛津大學教授、美國科學院外籍院士。現在任教於英國牛津大學。

1996年3月，懷爾斯獲得沃爾夫獎(Wolf Prize)和5萬美金。

1996年6月，當選為美國國家科學院外籍院士並獲該科學院數學獎；

1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯凱爾10萬馬克懸賞大獎，就在哥廷根皇家科學協會規定期只剩下10年的時候沃爾夫斯凱爾當年遺願終於實現。

1998年第23屆國際數學家大會在柏林舉行，國際數學聯合會還史無前例地頒給懷爾斯菲爾茲特別獎，一個特殊製作的菲爾茲獎銀質獎章。

1999年，他榮獲首屆克萊數學研究獎 (Clay Research Award)。

2000年，懷爾斯被授勛為爵士。

2005年，懷爾斯又榮獲有“東方諾貝爾獎”之稱的邵逸夫數學科學獎(Shaw Prize)，獎金100萬美金。

2005年8月29日，安德魯·懷爾斯第一次踏上中國的土地，這甚至是他第一次來到亞洲。北京大學數學院院長張繼平、副院長劉化榮，中科院院士田剛、張恭慶、姜伯駒、丁偉岳、文蘭等陪同他參觀中國。

2016年3月15日，挪威自然科學與文學院宣布將2016年阿貝爾獎(Abel Prize) 授予牛津大學的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles) 教授，獎金約600萬挪威克朗(約465萬元人民幣)，表彰他令人震驚的費馬大定理證明。 

其他榮譽還包括羅夫·肖克獎 (Rolf Schock Prize)、奧斯特洛斯基獎 (Ostrowski Prize)、英國皇家學會皇家獎章 (Royal Medal of the Royal Society)、美國國家科學院數學獎 (U.S. National Academy of Science’s Award in Mathematics) 等。

費馬（1601～1665）

Fermat，Pierre de

費馬是法國數學家，1601年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。他的父親多米尼克·費馬在當地開了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產業，使得費馬從小生活在富裕舒適的環境中。

費馬的父親由於富有和經營有道，頗受人們尊敬，並因此獲得了地方事務顧問的頭銜，但費馬小的時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。費馬的母親名叫克拉萊·德·羅格，出身穿袍貴族。多米尼克的大富與羅格的大貴族構築了費馬極富貴的身價。

費馬小時候受教於他的叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時，費馬才進入博蒙·德·洛馬涅公學，畢業后先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。

17世紀的法國，男子最講究的職業是當律師，因此，男子學習法律成為時髦，也使人敬羨。有趣的是，法國為那些有產的而缺少資歷的“准律師”儘快成為律師創造了很好的條件。1523年，佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關，公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生，便應時代的需要而一發不可收拾，且彌留今日。

鬻賣官職，一方面迎合了那些富有者，使其獲得官位從而提高社會地位，另一方面也使政府的財政狀況得以好轉。因此到了17世紀，除宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日，法院的書記官、公證人、傳達人等職務，仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產，使許多中產階級從中受惠，費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業，便在博蒙·德·洛馬涅買好了“律師”和“參議員”的職位。等到費馬畢業返回家鄉以後，他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員，時值1631 年。

儘管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職，而且逐年得到提升，但是據記載，費馬並沒有什麼政績，應付官場的能力也極普通，更談不上什麼領導才能。不過，費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了七年地方議會議員之後，升任了調查參議員，這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。

1642年，有一位權威人士叫勃里斯亞斯，他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭，這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年，費馬升任議會首席發言人，以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道，不過費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明，贏得了人們的信任和稱讚。

費馬的婚姻使費馬躋身於穿袍貴族的行列，費馬娶了他的舅表妹露伊絲·德·羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬，如今乾脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標誌“de”。

費馬生有三女二男，除了大女兒克拉萊出嫁之外，四個子女都使費馬感到體面。兩個女兒當上了牧師，次子當上了菲瑪雷斯的副主教。尤其是長子克萊曼特·薩摩爾，他不僅繼承了費馬的公職，在1665年當上了律師，而且還整理了費馬的數學論著。如果不是費馬長子積極出版費馬的數學論著，很難說費馬能對數學產生如此重大的影響，因為大部分論文都是在費馬死後，由其長子負責發表的。從這個意義上說，薩摩爾也稱得上是費馬事業上的繼承人。

對費馬來說，真正的事業是學術，尤其是數學。費馬通曉法語、義大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語，而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利，使他有能力學習和了解阿拉伯和義大利的代數以及古希臘的數學。正是這些，可能為費馬在數學上的造詣莫定了良好基礎。在數學上，費馬不僅可以在數學王國里自由馳騁，而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。這也不能絕對歸於他的數學天賦，與他的博學多才多少也是有關係的。

費馬生性內向，謙抑好靜，不善推銷自己，不善展示自我。因此他生前極少發表自己的論著，連一部完整的??埋名。《數學論集》還是費馬去世後由其長子將其筆記、批註及書信整理成書而出版的。我們現在早就認識到時間性對於科學的重要，即使在l7世紀，這個問題也是突出的。費馬的數學研究成果不及時發表，得不到傳播和發展，並不完全是個人的名譽損失，而是影響了那個時代數學前進的步伐。

費馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過，費馬開始感到身體有變，因此於1月l0日停職。第三天，費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯公墓，後來改葬在圖盧茲的家族墓地中。

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發明者之一；對於微積分誕生的貢獻僅次於牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創始人，以及獨承17世紀數論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大才費馬堪稱是 17世紀法國最偉大的數學家。

17世紀伊始，就預示了一個頗為壯觀的數學前景。而事實上，這個世紀也正是數學史上一個輝煌的時代。幾何學首先成了這一時代最引入注目的引玉之明珠，由於幾何學的新方法—代數方法在幾何學上的應用，直接導致了解析幾何的誕生；射影幾何作為一種嶄新的方法開闢了新的領域；由古代的求積問題導致的極微分割方法引入幾何學，使幾何學產生了新的研究方向，並最終促進了微積分的發明。幾何學的重新崛起是與一代勤于思考、富於創造的數學家是分不開的，費馬就是其中的一位。

對解析幾何的貢獻

費馬獨立於笛卡兒發現了解析幾何的基本原理。

1629年以前，費馬便著手重寫公元前三世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古幾何學，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。

費馬於1636年與當時的大數學家梅森、羅貝瓦爾開始通信，對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事，因而1679年以前，很少有人了解到費馬的工作，而現在看來，費馬的工作卻是開創性的。

《平面與立體軌跡引論》》中道出了費馬的發現。他指出：“兩個未知量決定的—個方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費馬的發現比笛卡爾發現解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。

笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面。

在1643年的一封信里，費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個未知量的方程表示一個曲面，並對此做了進一步地研究。

對微積分的貢獻

16、17世紀，微積分是繼解析幾何之後的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，並且在其之前，至少有數十位科學家為微積分的發明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中，費馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示，以致於在微積分領域，在牛頓和萊布尼茨之後再加上費馬作為創立者，也會得到數學界的認可。

曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙，後來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由於開普勒在探索行星運動規律時，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。儘管這種方法並不完善，但卻為自卡瓦列里到費馬以來的數學家開闢廠一個十分廣闊的思考空間。

費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。

對概率論的貢獻

早在古希臘時期，偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論，但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期，義大利出現了卡爾達諾等數學家研究骰子中的博弈機會，在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀，法國的帕斯卡和費馬研究了義大利的帕喬里的著作《摘要》，建立了通信聯繫，從而建立了概率學的基礎。

費馬考慮到四次賭博可能的結局有2×2×2×2＝16種，除了一種結局即四次賭博都讓對手贏以外，其餘情況都是第一個賭徒獲勝。費馬此時還沒有使用概率一詞，但他卻得出了使第一個賭徒贏得概率是15／16，即有利情形數與所有可能情形數的比。這個條件在組合問題中一般均能滿足，例如紙牌遊戲，擲銀子和從罐子里模球。其實，這項研究為概率的數學模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎，儘管這種總結是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。

費馬和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的：在一個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論：一個博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。

一般概率空間的概念，是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看，有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。

17世紀初，歐洲流傳著公元三世紀古希臘數學家丟番圖所寫的《算術》一書。l621年費馬在巴黎買到此書，他利用業餘時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數範圍內，從而開始了數論這門數學分支。

費馬在數論領域中的成果是巨大的，其中主要有：

(1)全部素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。

(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。

(3)沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和。

(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。

(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。

(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和；5次和6次方都只能以3種方式表

費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後，這個定律逐漸被擴展成自然法則，並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的“大自然以最短捷的可能途徑行動”的結論最終得出來，並影響了費馬。費馬的高明之處則在於變這種的哲學的觀念為科學理論。

費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時，其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是歐拉，競用變分法技巧把這個原理用於求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個質點而言，其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值；即對該質點所取的實際路徑來說，必須是極大或極小。

費馬大定理是否存在初等數學證明的問題

費馬在提出費馬大定理猜想后曾經說他對這個猜想有一個簡單的證明，但由於他閱讀的一本書空白處太小，寫不下這個證明，因此費馬的那個證明沒有流傳下來。費馬的證明如果真的存在，那應該是一個初等數學證明。大數學家歐拉也很想解決費馬大定理問題，但他在給出n=3的證明后，試圖給出一般性的證明即n趨向無窮大的證明時卻遭遇失敗，這使歐拉這樣絕頂聰明的數學天才在費馬大定理問題面前也敗下陣來。在無奈之下，歐拉只好請他的法國朋友在費馬居住過的房間尋找一下費馬閱讀過的書籍，看看能不能找到費馬聲稱已經解決了費馬大定理問題的一點線索，但歐拉的法國朋友一點蛛絲馬跡都沒有找到，因此費馬大定理問題究竟存不存在初等數學證明就成了數學史上的懸案。時間到了1993年，美國普林斯頓大學的數學家懷爾斯聲稱解決了費馬大定理問題，而懷爾斯使用的方法是現代社會才剛剛創立的橢圓曲線理論、模形式等高深莫測的數學知識，據說全世界能掌握這種超前數學知識的人只有屈指可數的五六個人，因此懷爾斯給出的證明當然就不屬於大多數人能看懂的初等數學證明了。已故著名數學家陳省身堅決支持懷爾斯，陳大師在《中國的數學》演講中以懷爾斯的證明為例說費馬大定理問題不存在初等證明，尋找初等證明是徒勞的，至此，數學權威已經完全否定了費馬大定理問題存在初等數學證明的可能性。不過事物往往不是絕對的，解決問題的方法也絕對不是唯一的，武斷的斷言往往會得出錯誤的判斷。

史上最精彩的一個數學謎題。

證明費馬大定理的過程是一部數學史。

費馬大定理起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業餘者痴迷。

這是“20世紀最輝煌的數學成就”。（中科院院士、北大數學院教授姜伯駒，評價安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明）

1637年，費馬在書本空白處提出費馬猜想。

1770年，歐拉證明n=3時定理成立。

1823年，勒讓德證明n=5時定理成立。

1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時定理成立。

1839年，拉梅證明n=7時定理成立。

1850年，庫默爾證明2

1955年，范迪維爾以電腦計算證明了 2

1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明 2

1985年，羅瑟以電腦計算證明2

1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 2

1995年，懷爾斯證明 n>2時定理成立。