計數原理
計數原理
計數原理是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具。在本章中，學生將學習計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯繫，會解決簡單的計數問題。
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特徵，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題。
⑴分類加法計數原理：完成一件事有幾類辦法，各類辦法相互獨立，每類辦法中又有多種不同的辦法，則完成這件事的不同辦法數是各類不同方法種數的和。
⑵分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法種數是各種不同的方法數的乘積。
能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
如果一個目標可以在n種不同情況下完成，第k種情況又有 種不同方式來實現，那麼實現這個目標總共有 種方法。
注意事項：
（1）每種方式都能實現目標，不依賴於其他條件；
（2）每種情況內任兩種方式都不同時存在；
（3）不同情況之間沒有相同方式存在。
如果實現一個目標必須經過n個步驟，第k步又可以有 種不同方式來實現，那麼實現這個目標總共有 種方法。
注意事項：
（1）步驟可以分出先後順序，每一步驟對實現目標是必不可少的；
（2）每步的方式具有獨立性，不受其他步驟影響；
（3）每步所取的方式不同，不會得出（整體的）相同方式。
加法原理和乘法原理的關鍵點在於區分是分類還是分步。
相同點
加法原理和乘法原理一樣，都是回答有關一件事的不同方法種數的問題。
區別點
加法原理是完成這件事的分類計數方法，每一類都可以獨立完成這件事；乘法原理是完成這件事的分步計數方法，每個步驟都不能獨立完成這件事。
應用這兩個原理解題，首先應該分清要完成的事情是什麼，然後需要區分是分類完成還是分步完成，“類”間相互獨立，“步”間相互聯繫。
例1
求以下要求的計數。
A：大於0小於10的偶數；
B：大於0小於10的奇數；
C：大於0小於10的整數；
D：大於0小於10的質數。
E：大於0小於10的質數或偶數。
解：
（1）A={2,4,6,8}，|A|=4；
（2）B={1,3,5,7,9}，|B|=5；
（3）C=A∪B，|C|=|A|+|B|=9；
（4）D={2,3,5,7}，|D|=4；
（5）E=A∪D，但質數與偶數並不互斥，有一個公共元素2，故有|E|=|A|+|D|-1=4+4-1=7。
例2
從A地到B地共有3種方法，從B地到C地共有兩種方法，問從A地到C地共有多少種方法。
解：要從A地到C地，需要先從A到B，再從B到C，且A到B的3種方法和B到C的2種方法互不干擾，故總共有3×2=6種方法。
基本信息
- 中文名
- 計數原理
- 外文名
- Counting principle
- 拼音
- jì shù yuán lǐ
- 應用學科
- 離散數學、組合數學
- 基本原理
- 加法原理、乘法原理
- 性質
- 原理
- 用途
- 證明二項式定理