合同公理

III1 設A，B為一直缐a上兩點，A'為同一或另一直缐a'上的點，則在a'上點A'的給定一測有一且只一點B'使缐段AB合同於或等於缐段A'B'：AB=A'B'，並且對於每一缐段，要求AB=BA。

III2 設缐段A'B'=AB，A''B''=AB，則也有A'B'=A''B''。

III3 設AB和BC是直缐a上沒有公共內點的兩缐段，而A'B'和B'C'是同一或另一直缐a'上的兩缐段，也沒有公共內點，如果這時有AB=A'B'，BC=B'C'，則也有AC=A'C'。

III4 在平面α上給定∠(h,k)，在同一或另一平面α'上給定直缐a'，而且在平面α'的一側。設h'是直缐a'上以一點O'為原點的射缐。那末在平面α'上直缐a'的指定一側，有一條且只有一條以O'為原點的射缐k'使∠(h,k)=∠(h',k')。每個角都要求與自身合同，即∠(h,k)=∠(h,k)以及∠(h,k)=∠(h,k)。即是說：每個角可以唯一地放在給定平面上給定射缐的給定一側。

III5 設A，B，C是不共缐三點，而A'，B'，C'也是不共缐三點，如果AB=A'B'，AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，那末也就有∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'。