幾何基礎

歐幾里得的《幾何原本》為幾何學奠下了基礎，但隨著數學不斷的發展，數學家對《幾何原本》再嚴謹審視下，便發現當中不完備之處，例如：「點是沒有部分的」中，甚麼叫「部分」？「直缐是它上面的點一樣的平放著的缐」中，甚麼叫「平放」？當然還有最受爭議的第五公設（平行公設）。這些問題困擾著數學家多年，他們希望可將《幾何原本》的定義、公設和公理加以改善，但因為幾何學有堅實的基礎，且有不少互相關連的分支，如：雙曲幾何、球面幾何、射影幾何等等，更便數學家不可只關心個別的公理或定義，而必須提供一整套關於概念和公理、定理的嚴密的系統，那是一件極艱鉅的工作。

雖然如此，但也有不少的數學家作出了貢獻，當中希爾伯特所著的《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie）便是集大成之作。《幾何基礎》的第一版於1899年出版，後來經多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希爾伯特在這書中對歐幾里得幾何及有關幾何的公理系統進行了深入的研究。他不僅對歐幾里得幾何提供了完善的公理體系，還給出證明一個公理對別的公理的獨立性以及一個公理體系確實為完備的普遍原則。

他把幾何進一步公理化，首先他敘述一些不加定義基本概念，設想有三組不同的東西，分別叫點、直缐和平面，統稱為「幾何元素」，而它們之間的關係須滿足一定的公理要求，則稱這些幾何元素的集合為「幾何空間」。這樣，不同的幾何便是滿足不同公理要求的幾何元素的集合，亦因此把幾何里那些與感性的感覺有關的東西去掉，只保留抽象的邏輯骨架，不但不會喪失現實的基礎，反而擴大了幾何命題的範圍。

他把歐幾里得幾何化為下列的五組共二十條公理的體系：

第一組 接合公理 共八條，說明三組幾何對象點、直缐和平面之間的一種接合的關係。

第二組 順序公理 共四條，說明直缐上的點的相互關係。

第三組 合同公理 共五條，主要為處理圖形的移動而引進的。

第四組 連續公理 共兩條，說明直缐的連續關係。

第五組平行公理 只有一條，說明兩直缐間的平行關係。

而這五組的公理也滿足了公理體系的三個基本要求，即相容性、獨立性和完備性。如果把這五組的公理稍作增減，便得出其他不同的幾何空間，例如把平行公理中的歐幾里得平行公理換為羅巴切夫斯基平行公理，那便把「歐幾里得空間」換為「羅巴切夫斯基空間」。另外，滿足前四組公理的幾何，我們稱之為「絕對幾何」（Absolute Geometry）。

希爾伯特的《幾何基礎》把幾何學引進了一個更抽象的公理化系統，把幾何重新定義，不但把傳統的歐幾里得的《幾何原本》改良，更把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。

希爾伯特《幾何基礎》

人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。

希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，並且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，採取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：

第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。

第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。

第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。

這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關係的研究方法，成了數學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。

公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麼，只專門研究抽象的對象之間的關係、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關係、順序關係、合同關係等，使這些關係滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。

因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。

就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。