戴維·希爾伯特

希爾伯特出生於東普魯士哥尼斯堡（前蘇聯加里寧格勒）附近的韋勞，中學時代他就是一名勤奮好學的學生，對於科學特別是數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至能應用老師講課的內容。他與17歲便拿下數學大獎的著名數學家閔可夫斯基（愛因斯坦的老師）結為好友，同進於哥尼斯堡大學，最終超越了他。

1880年，他不顧父親讓他學法律的意願，進入哥尼斯堡大學攻讀數學，並於1884年獲得博士學位，后留校取得講師資格和升任副教授。

1892年結婚。1893年他被任命為正教授。

1895年轉入哥廷根大學任教授，此後一直在數學之鄉哥廷根生活和工作。

他於1930年退休。在此期間，他成為柏林科學院通訊院士，並曾獲得施泰訥獎、羅巴契夫斯基獎和波約伊獎。

1943年希爾伯特在孤獨中逝世。但由於大量數學家的到來，美國成為了當時的世界數學中心。

希爾伯特是對二十世紀數學有深刻影響的數學家之一，他領導了著名的哥廷根學派，使哥廷根大學成為當時世界數學研究的重要中心，並培養了一批對現代數學發展做出重大貢獻的傑出數學家。

學術研究希爾伯特的數學工作可以劃分為幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序，他的主要研究內容有：不變數理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特徵值問題、“希爾伯特空間”等。在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。希爾伯特認為，科學在每個時代都有它自己的問題，而這些問題的解決對於科學發展具有深遠意義。他指出：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡和終止。”在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題統稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以得到解決的信念，對數學工作者是一種巨大的鼓舞。他說：“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裡有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知。”三十年後，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道。”希爾伯特去世后，這句話就刻在了他的墓碑上。希爾伯特的《幾何基礎》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學加以整理，成為建立在一組簡單公理基礎上的純粹演繹系統，並開始探討公理之間的相互關係與研究整個演繹系統的邏輯結構。1904年，又著手研究數學基礎問題，經過多年醞釀，於二十年代初，提出了如何論證數論、集合論或數學分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發將數學形式化為符號語言系統，並從不假定實無窮的有窮觀點出發，建立相應的邏輯系統。然後再研究這個形式語言系統的邏輯性質，從而創立了元數學和證明論。希爾伯特的目的是試圖對某一形式語言系統的無矛盾性給出絕對的證明，以便克服悖論引起的危機，一勞永逸地消除對數學基礎以及數學推理方法可靠性的懷疑。1930年，年輕的奧地利數理邏輯學家哥德爾（K.G?del，1906～1978）獲得了否定的結果，證明了希爾伯特方案是不可能實現的。但正如哥德爾所說，希爾伯特有關數學基礎的方案“仍不失其重要性，並繼續引起人們的高度興趣。”學術論著《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數論報告》）、《幾何基礎》、《線性積分方程一般理論基礎》等，與其他人合著的有《數學物理方法》、《理論邏輯基礎》、《直觀幾何學》、《數學基礎》。希爾伯特問題在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。（1）康托的連續統基數問題。1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科思（P.Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。（2）算術公理系統的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思（M.Dehn）在1900年已解決。（4）兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊平（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。（7）某些數的超越性的證明。需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麼α^β一定是超越數或至少是無理數（例如，2^√2和exp(π)）。蘇聯的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。（8）素數分佈問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未獲最終解決，其最佳結果分別屬於中國數學家陳景潤和張益唐。（9）一般互反律在任意數域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯繫。（11）一般代數數域內的二次型論。德國數學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依（A.Weil）取得了新進展。（12）類域的構成問題。即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。（13）一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴於3個參數a、b、c；x=x(a,b,c）。這一函數能否用兩變數函數表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯數學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續的實函數f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9），這裡hi和ξi為連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）這裡hi和ξi為連續實函數，ξij的選取可與f完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續可微情形，對解析函數情形則未解決。（14）某些完備函數系的有限的證明。即域K上的以x1,x2，…，xn為自變數的多項式fi（i=1，…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數F（X1，…，Xm）構成的環，並且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問R是否可由有限個元素F1，…，FN的多項式生成？這個與代數不變數問題有關的問題，日本數學家永田雅宜於1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。（15）建立代數幾何學的基礎。荷蘭數學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一舒伯特（Schubert）計數演算的嚴格基礎。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關係。但嚴格的基礎至今仍未建立。（16）代數曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環的最多個數N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次系統）的情況，1934年福羅獻爾得到N（2）≥1；1952年鮑廷得到N（2）≥3；1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，這個曾震動一時的結果，由於其中的若干引理被否定而成疑問。關於相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勛和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勛進一步證明了二次系統最多有4個極限環，並且是（1，3）結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，並為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。（17）半正定形式的平方和表示。實係數有理函數f(x1，…，xn）對任意數組（x1，…，xn）都恆大於或等於0，確定f是否都能寫成有理函數的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。（18）用全等多面體構造空間。德國數學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？德國數學家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯數學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。（20）研究一般邊值問題。此問題進展迅速，已成為一個很大的數學分支，目前還在繼讀發展。（21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。此問題屬線性常微分方程的大範圍理論。希爾伯特本人於1905年、勒爾（H.Rohrl）於1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻。（22）用自守函數將解析函數單值化。此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變數情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。（23）發展變分學方法的研究。這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。人物軼事1.以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次希爾伯特曾問系裡的同事“請問什麼叫做希爾伯特空間？”2.1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學。希爾伯特對她的學識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當講師，輔助相對論的研究工作。但當時歧視婦女的現象相當嚴重，希爾伯特的建議遭到語言學、歷史學等教授們的強烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這裡是學校，不是澡堂！”於是因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不為所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。3.他的一位學生買了一部車，後來不幸死於一場車禍。在葬禮上，死者家屬請希爾伯特老師說幾句話，於是他說：“小克勞斯是我學生當中最優秀的，他生前在數學方面，具有非同凡響的天分。他對數學問題的非常廣泛，諸如……”他暫停了一會兒，然後說：“考慮單位區間上一組可微函數，然後取它們的閉包……”4.中學時代，希爾伯特就是一名勤奮好學的學生，對於科學特別是數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至應用老師講課的內容。1880年，他不顧父親讓他學法律的意願，進入哥尼斯堡大學攻讀數學。人物思想1900年希爾伯特應邀參加巴黎國際數學家大會並在會上作了題為《數學問題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：正如人類的每一項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發現新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。希爾伯特特彆強調重大問題在數學發展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數學知識可能的發展有一個概念，那就必須回顧一下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題。”同時又指出：“某類問題對於一般數學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。”他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特徵：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠。同時他分析了研究數學問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會議上他提出了在新世紀里數學家應努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。編號問題 

1 連續統假設 公理化集合論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第一個問題是不可解的。即連續統假設的真偽不可能在Zermelo_Fraenkel公理系統內判定。 2 算術公理的相容性 數學基礎 希爾伯特證明算術公理的相容性的設想，後來發展為系統的Hilbert計劃（“元數學”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數學”證明算術公理的相容性之不可能。數學的相容性問題至今未解決。 3 兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎 這問題很快（1900）即由希爾伯特的學生M.Dehn給出了肯定的解答。 4 直線作為兩點間最短距離問題 幾何基礎 這一問題提得過於一般。希爾伯特之後，許多數學家致力於構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題並未完全解決。 5 不要定義群的函數的可微性假設的李群概念 拓撲群論 經過漫長的努力，這個問題於1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最後解決，答案是肯定的。 6 物理公理的數學處理 數學物理 在量子力學、熱力學等領域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什麼，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。 7 某些數的無理性與超越性 超越數論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨立地解決了這問題的後半部分。 8 素數問題 數論 一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數學家在這方面做了一系列出色的工作。 9 任意數域中最一般的互反律之證明 類域論 已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決。 10 Diophantius方程可解性的判別 不定分析 1970年由蘇、美數學家證明Hilbert所期望的一般演演算法是不存在的。 11 係數為任意代數數的二次型 二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問題上獲得了重要的結果。 12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數有理域。復乘法理論 尚未解決。 13 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程。方程論與實函數論 連續函數情形於1957年由蘇數學家否定解決，如要求是解析函數，則問題仍未解決。 14 證明某類完全函數系的有限性 代數不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。 15 Schubert記數演算的嚴格基礎 代數幾何學 由於許多數學家的努力，Schubert演算的基礎的純代數處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至於代數幾何的基礎，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。 16 代數曲線與曲面的拓撲 曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論 問題的前半部分，近年來不斷有重要結果。 17 正定形式的平方表示式 域（實域）論 已由Artin 於1926年解決。 18 由全等多面體構造空間 結晶體群理論 部分解決。 19 正則變分問題的解是否一定解析 橢圓型偏微分方程理論 這個問題在某種意義上已獲解決。 20 一般邊值問題 橢圓型偏微分方程理論 偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。 21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性 線性常微分方程大範圍理論 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。 22 解析關係的單值化 Riemann 曲面體 一個變數的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。 23 變分法的進一步發展 變分法 Hilbert本人和許多數學家對變分法的發展作出了重要的貢獻。獲獎記錄1930年獲得瑞典科學院的米塔格 - 萊福勒獎，1942年成為柏林科學院榮譽院士。人物評價希爾伯特是一位正直的科學家，第一次世界大戰前夕，他拒絕在德國政府為進行欺騙宣傳而發表的《告文明世界書》上簽字。戰爭期間，他敢於公開發表文章悼念“敵人的數學家”達布。希特勒上台後，他抵制並上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學家的政策。由於納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學家被迫移居外國，其中多數流亡到美國，曾經盛極一時的哥廷根學派衰落了。

1. 以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次，希爾伯特問系裡的同事“請問什麼叫做希爾伯特空間？”

2.1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學。希爾伯特對她的學識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當講師，輔助相對論的研究工作。但當時歧視婦女的現象相當嚴重，希爾伯特的建議遭到語言學、歷史學等教授們的強烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這裡是學校，不是澡堂！”於是因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不為所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。

3.他的一位學生買了一輛車，後來不幸死於一場車禍。在葬禮上，死者家屬請希爾伯特老師說幾句話，於是他說：“小克勞斯是我的學生當中最優秀的，他生前在數學方面，具有非凡的天分。他對數學問題的涉及非常廣泛，諸如……”他暫停了一會兒，然後說：“考慮單位區間上一組可微函數，然後取它們的閉包……”

1930年獲得瑞典科學院的米塔格 - 萊福勒獎，

1942年成為柏林科學院榮譽院士。