閔可夫斯基

閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生於俄國的 Alexotas (現在變成立陶宛的 Kaunas)。父親是一個成功的猶太商人，但是當時的俄國政府迫害猶太人，所以當閔可夫斯基八歲時，父親就帶全家搬到普魯士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位數學家希爾伯特（Hilbert ）的家僅一河之隔。閔可夫斯基有兩個哥哥，他是幺弟。大哥 Max 在俄國時因為種族歧視，不能進學校讀書，後來也一直沒有受正規教育，長大后與他父親一起經商，繼承父業成為一個成功的商人。二哥就是發現胰島素和糖尿病關聯的著名醫學家 Oscar Minkowski，人稱“胰島素之父”。閔可夫斯基本人則因數學才能出眾，早有神童之名，後來更是優秀的數學家。他們兄弟三人都十分傑出，在Konigsberg曾經轟動一時。

1873年，閔可夫斯基進入艾爾斯塔特預科學校讀書。他思考敏捷，記憶力極佳，很快就表現出數學天賦。不僅如此，閔可夫斯基熟讀莎士比亞、席勒和歌德的作品，歌德的《浮士德》幾乎可以全文背誦。這和大雞慢啼的Hilbert不同。八年的預科學校課程，閔可夫斯基只花了五年半就完成學業。因此，雖然閔可夫斯基比 Hilbert 小兩歲，卻早一年畢業。當時德國大學可以自由選擇任何大學註冊。閔可夫斯基先進入當地的大學，不久就轉到柏林大學，三個學期后又回到 Konigsberg 大學。在大學期間，他曾先後受教於 Helmholtz、 Hurwitz、Lindeman 、克羅內克爾（Kronecker）、庫謨（Kummer）、Weber、魏爾斯特拉斯（Weierstrass）和 Kirchhoff (克希荷夫)等人。在 Konigsberg 大學，閔可夫斯基和Hilbert 重逢，兩人志趣相投，結為終生的摯友。

1884年，年方25的數學家Hurwitz來到Konigsberg大學當副教授，很快地便和閔可夫斯基及Hilbert建立起友誼，共同的科學愛好把他們緊密地結合在一起。每天下午五點，都可以看見他們三人在蘋果園裡散步，討論當前的數學問題，時而低頭苦思、時而滔滔不絕，時而爭辯，時而會心地哈哈大笑，旁人看來真是一群數學瘋子。然而，這些討論對他們各自的數學工作產生重要的影響。Hilbert 後來寫道：在無數次的散步中，我們三人探究了數學科學的每一個角落。Hurwitz學識淵博，他總是我們的帶路人。大學期間，Minkowski就曾因出色的數學工作而獲獎。

1881年，法國科學發出通告，懸賞求解一個數學難題：試證任何一個正整數都可以表成五平方數的和。年僅十七歲的閔可夫斯基所做出的結果大大超過了原問題，然截稿日期已近，根據比賽規則需譯為法文，但閔可夫斯基已經來不及，事已至此，他還是決定投稿一試。翌年，大獎揭曉，由十八歲的閔可夫斯基和英國著名數學家 Henry Smith 共同獲獎。閔可夫斯基再次轟動Konigsberg。1885年夏，閔可夫斯基在 Konigsberg 大學取得博士學位。服過短暫的兵役后，1886 年被聘為 Bonn 大學講師。1891年柏林大學的數學教授 Kronecker 去世，引起德國各大學教授、副教授的變動。 Konigsberg 大學副教授 Hurwitz 調到蘇黎世大學擔任數學教授， Hilbert 則接任他的位置，閔可夫斯基則升為 Bonn 大學副教授。1895年，Hilbert 被 Klein 網羅到哥廷根大學，閔可夫斯基就接任他在 Konigsberg 大學的教授職位。

1896年，閔可夫斯基轉到蘇黎世大學和 Hurwitz 共事。愛因斯坦曾是他的學生。1902年，閔可夫斯基也被 Klein 網羅，加入哥廷根大學的數學大師之林，一直到他過世為止。閔可夫斯基在1897年結婚，他的妻子 Auguste Adler 是 Konigsberg 附近一位皮革廠廠長的女兒。他們有兩女兒。1909年1月10日，閔可夫斯基在正達創作力高峰時，突患急性闌尾炎，搶救無效，不幸於1月12日去世，年僅45歲。生前摯友 Hilbert 替他整理遺作，1911年出版《閔可夫斯基全集》 (Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski)。

閔可夫斯基的主要工作在數論、代數和數學物理上。在數論上，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國大獎中，Minkowski深入鑽研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet）等人的論著。因為Gauss曾在研究把一個整數分解為三個平方數之和時用了二元二次型的性質，Minkowski由前人的工作中認識到把一個整數分解為五個平方數之和的方法與四元二次型有關。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，原題就很容易從更一般的理論中得出，Minkowski交給法國科學院的論文長達140頁，遠遠超出了原題的範圍。

Minkowski 此後仍繼續研究n元二次型的理論。他透過三個不變數刻畫了有理係數二次型有理係數線性變換下的等價性，完成了實係數正定二次型的約化理論(1905)，現稱“Minkowski約化理論”。當Minkowski用幾何方法研究n元二次型的約化問題時，獲得了十分精彩而清晰的結果。他把用這種方法建立起來的關於數的理論為“數的幾何”，其中包括著名的閔克夫斯基原理。由這裡又引導出他在“凸體幾何”方面的研究，這項研究的副產品就是著名的Minkowski不等式：{Σ(ak + bk)r}1/r ≦ {Σakr}1/r + {Σbkr}1/r。

Minkowski早年就對數學物理有興趣，在Bonn大學任職時，他就曾協助物理學家赫茲(Hertz)研究電磁波的理論。1905年以後，他幾乎把所有的精力都放在電動力學上。1907年，Minkowski體悟到可以用非歐空間的想法來理解洛侖茲（Lorentz）和Einstein 的工作，他認為過去一直被認定是獨立的時間和空間的概念可以被結合在一個四維的時空結講中：ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 這種結構後來被稱為"Minkowski's World"。據此，同一現象的不同描述能用簡單的數學方式表出。這些工作為廣義相對論提供了骨架。諾貝爾物理獎得主馬克斯·玻恩（M. Born）曾說，他在Minkowski的數學工作找到了“相對論的整個武器庫”。Minkowski 在這方面的著述主要有1907年的 Raum und Zeit 和1909年的 Zwei Abhandlungen uer die Grundgleichungen der Elektrodynamik。

閔可夫斯基工作的主要領域在數論、代數和數學物理方面。在數論領域，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國科學院懸賞的大獎中，閔可夫斯基鑽研了高斯、狄利克雷等人的論著，深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。此後，閔可夫斯基繼續研究，於1905年建立了實係數正定二次型的約化理論，被稱為“閔可夫斯基約化理論”。

在數學物理方面，閔可夫斯基在波恩大學任職時，曾協助著名物理學家赫茲研究電磁波的理論。1905年以後，閔可夫斯基將幾乎所有精力放在電動力學上。1907年，閔可夫斯基認識到可以用非歐空間來描述洛侖茲和愛因斯坦的工作，將過去被認為是獨立的時間和空間結合到一個四維的時空結構中，即閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空為廣義相對論的建立提供了框架。

為紀念這位數學家，第12493號小行星以他的名字“閔可夫斯基”命名。