希爾伯特空間

提出者簡介大衛·希爾伯特(David Hilbert，1862～1943）德國數學家，生於東普魯士哥尼斯堡(前蘇聯加里寧格勒）附近的韋勞。中學時代，希爾伯特就是一名勤奮好學的學生，對於科學特別是數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至應用老師講課的內容。1880年，他不顧父親讓他學法律的意願，進入哥尼斯堡大學攻讀數學。1884年獲得博士學位，後來又在這所大學里取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授，1895年，轉入格廷根大學任教授，此後一直在格廷根生活和工作，於1930年退休。在此期間，他成為柏林科學院通訊院士，並曾獲得施泰訥獎、羅巴切夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學院的米塔格-萊福勒獎，1942年成為柏林科學院榮譽院士。希爾伯特是一位正直的科學家，第一次世界大戰前夕，他拒絕在德國政府為進行欺騙宣傳而發表的《告文明世界書》上簽字。戰爭期間，他敢於公開發表文章悼念"敵人的數學家"達布。希特勒上台後，他抵制並上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學家的政策。由於納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學家被迫移居外國，曾經盛極一時的哥廷根學派衰落了，希爾伯特也於1943年在孤獨中逝世。希爾伯特空間以大衛·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關於無界厄米運算元的著作中，最早使用了“希爾伯特空間”這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一，他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮·諾伊曼與希爾伯特和朗道展開，隨後由尤金·維格納（Template:Lang）繼續深入。“希爾伯特空間”這個名字迅速被其他科學家所接受，例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學的理論》（Template:Lang）中就使用這一名詞。

應用

一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函數。例如在量子力學中，一個物理系統可以被一個復希爾伯特空間所表示，其中的向量是描述系統可能狀態的波函數。詳細的資料可以參考量子力學的數學描述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）。

原理

在一個實向量空間或復向量空間H上的給定的內積可以按照如下的方式導出一個范數（norm）：如果其對於這個范數來說是完備的，此空間稱為是一個希爾伯特空間。這裡的完備性是指，任何一個柯西序列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的范數差的極限為0。任何一個希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。任何有限維內積空間（如歐幾里德空間及其上的點積）都是希爾伯特空間。但從實際應用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值。內積可以幫助人們從“幾何的”觀點來研究希爾伯特空間，並使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓撲向量空間中，希爾伯特空間性質最好，也最接近有限維空間的情形。傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數表示成一族給定的基函數的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數的和。

相關換算

n維歐幾里得空間的推廣，可視為“無限維的歐幾里得空間”，是泛函分析的重要研究對象之一。在三維歐幾里得空間中，任何兩個向量之間規定了一個內積，它是建立三維歐幾里得幾何學的基礎。有了內積，就有向量的長度、兩個向量的交角和向量到直線或平面上的投影等等。這些普通而重要的幾何概念及相應的研究方法，不僅被推廣到n維空間，而且在許多不同的領域，例如積分方程、數學物理、三角級數或更一般的正交級數等理論中，被推廣到由函數構成的無限維空間上去，成為研究有關問題的有力工具。第一個具體的希爾伯特空間最早是由D.希爾伯特在研究積分方程時首先提出的。他在平方可積的無窮實數列{xn}全體所組成的空間l中規定了內積，把空間l看作歐幾里得空間向無限維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及其本徵展開的問題。不久，人們就建立了一般的希爾伯特空間理論，到20世紀30年代已取得了豐富的成果。希爾伯特空間在分析數學的各個領域中有著深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已經被廣泛地應用於數學和物理的各個分支，如積分方程、微分方程、過程、函數論、調和分析、數學物理及量子物理學等等。關於希爾伯特空間及其上的運算元理論仍然是泛函分析的重要課題之一。內積空間和希爾伯特空間設H是實數域或複數域C上的線性空間，如果對於H中任何兩個向量x和y都對應著一個數（x,y）∈C，並且滿足下列條件：①正定性，對一切x∈H，（x,x）≥0，而且（x,x)=0當且僅當x=0；②線性，對x，y，z∈H和α，β∈C，成立（αx+βy，z)=α（x,z)+β(y,z）；③（共軛）對稱性，對x，y∈H成立（x,y）=(y,x)（實數域）或(x,y)=(y,x)的共軛（複數域）；則稱（x,y）為H中x,y的一個內積。定義了內積的空間H稱為內積空間。在內積空間H中定義函數||x||=的開方為x的范數（‖x‖即x的“長度”），這時，H成為一個賦范空間。如果作為賦范空間，H是完備的（見巴拿赫空間），就稱H為希爾伯特空間。作為希爾伯特空間的例子，除了歐幾里得空間和l空間以外，還有勒貝格平方可積函數空間L^2[α,b]（其中內積規定為（f,g）=f(t)g(t)(實數域)或f(t)乘以g(t)的共軛（複數域）在(α，b）區間的積分，而α，b也可為無限大）。在數學物理中越來越多地使用各種類型的希爾伯特空間。平行四邊形公式和柯西-施瓦茨不等式在內積空間中，由內積導出的范數必滿足類似於平面幾何學中的平行四邊形公式，即對H中任何x、y，||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)；反之，一個賦范線性空間H，若它的范數滿足上述平行四邊形公式，則這個范數必是由定義在H上的某個內積導出的范數。內積還有重要的柯西-施瓦茨不等式：|(x,y)|<=||x||*||y||。正交與勾股定理在希爾伯特空間H中，如果x，y滿足（x,y)=0，就稱x和y正交（或直交），記為x⊥y。當x⊥y時，成立勾股定理：||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果x和H的子集M中任何元都正交，就稱x和M正交，記為x⊥M。與M正交的所有元素的集合記為M寑。投影定理希爾伯特空間理論中的一個基本定理。設M是希爾伯特空間H的凸閉子集，則對H中每個向量x，必存在M中惟一的y，使得||x-y||取到y在M中變化時的最小值。這個性質稱為變分定理。特別，當M是H的閉線性子空間時，z=x-y必與M正交，即對於閉線性子空間M，分解x=y+z不僅惟一，而且z⊥y。這就是投影定理。其中，y稱為x在M中的投影（分量）。因為x在M上的投影y是達到極小值的惟一解，所以這個結果不僅在理論研究中，而且在很多應用性科學，如近似理論（包括有限元方法）、預測理論、最優化等多方面均有著廣泛的應用。正交系設{ek}是內積空間H中一族彼此不同的向量，如果其中任何兩個向量都正交，即當k≠j時，（ek，ej)=0，則稱{ek}是一正交系；如果其中每個向量的范數又都是1，即對一切k，（ek,ek)=1，則稱{ek}是規範正交系。對於希爾伯特空間H的規範正交系{ek},如果包含{ek}的最小閉子空間就是H，就稱{ek}為H的完備規範正交系。設{ek}是規範正交系，則H中任一向量x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一維子空間上的投影，就是Σ（x,ek)ek；而x在{ek}生成的閉子空間M上的投影就是H。顯然有||x||^2<=Σ|(x,ek)|^2，即向量x在某個子空間M上的分量“長度”永不超過x的長度，它稱為貝塞爾不等式。如果{ek}是完備規範正交系，那麼成立著x=Σ(x,ek)ek（傅里葉展式），||x||^2=Σ|(x,ek)|^2（帕舍伐爾等式）。傅里葉展開是古典分析中傅里葉級數或一般正交級數展開的推廣。里斯表示定理希爾伯特空間H上每個連續線性泛函F，對應於惟一的y∈H，使F(x)=(x,y），並且||F||=||y||，這就是里斯的連續線性泛函表示定理。因此，希爾伯特空間的共軛空間與自身（保持范數不變地）同構（實際上是一種共軛線性同構），即H=H*。這個結果在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用。