正交

換句話說，兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。

對於一般的希爾伯特空間，也有內積的概念，所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。特別的，我們有n維歐氏空間中的正交概念，這是最直接的推廣。

和正交有關的數學概念非常多，比如正交矩陣，正交補空間，施密特正交化法，最小二乘法等等。

另外在此補充正交函數系的定義：在三角函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函數組成的體系叫正交函數系。

例如：三角函數系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……}

在區間[-π,π]上正交，就是指在三角函數系⑴中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，即

∫[-π->π]cosnxdx=0

∫[-π->π]sinnxdx=0

∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0

∫[-π->π]coskxcosnxdx=0

∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0

(k,n=1,2,3.....,k≠n)

正交子空間

若內積空間中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若內積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那麼這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

正交變換是保持內積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內積等於它們在函數T下的內積。

這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。

在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交當且僅當他們的點積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。

對於兩個函數f和g，可以定義如下的內積：

這裡引進一個非負的權函數。這個內積叫做帶權{\displaystylew(x)}的內積。

兩個函數帶權{\displaystylew(x)}正交，是指它們帶權的內積為零。

由此可以類似定義帶權{\displaystyle w(x)}的模。

一個函數列{fi:i=1,2,3,...}如果滿足：

其中

為克羅內克函數，那麼{fi}就稱為帶權{\displaystyle w(x)}的正交函數族。

進一步地，如果{fi}滿足：

就稱{fi}為帶權的標準正交函數族。

參見正交多項式。

正交化

Gram-Schmidt正交化

正交分解

正交矩陣

正交基

垂直