平面幾何

平面幾何指按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學 。也稱歐幾里得幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何。 高維的情形請參看歐幾里得空間。

數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出“三角形內角和等於一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss,1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是“三角形內角和不一定等於一百八十度”，從而發現非歐幾里得的幾何學，即“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）。

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。

歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：

任意兩個點可以通過一條直線連接。

任意線段能無限延伸成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都相等。

若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：

通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。

從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理(公設)並不完備。例如，該幾何中的所有定理：任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。

歐幾里得還提出了五個“一般概念”，也可以作為公理。當然，之後他還使用量的其他性質。

1.與同一事物相等的事物相等。

2.相等的事物加上相等的事物仍然相等。

3.相等的事物減去相等的事物仍然相等。

4.一個事物與另一事物重合，則它們相等。

5.整體大於局部。

如今，歐幾里得幾何的構造通常不是通過公理化方法，而是通過解析幾何。通過這種方法，可以像證明定理一樣證明歐幾里得幾何（或非歐幾里得幾何）中的公理。這一方法沒有公理方法那麼漂亮，但絕對簡練。

歐幾里德的《幾何原本》，一開始歐幾里德就給出了23個定義，5個公設，5個公理。其實他說的公設就是我們後來所說的公理，他的公理是一些計算和證明用到的方法（如公理1：等於同一個量的量相等，公理5：整體大於局部等）他給出的5個公設倒是和幾何學非常緊密的，也就是後來我們教科書中的公理。分別是：

公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線

公設2：一條有限線段可以繼續延長

公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓

公設4：凡直角都彼此相等

公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長后在這一側相交。

在這五個公設理里，歐幾里德並沒有幼稚地假定定義的存在和彼此相容。亞里士多德就指出，頭三個公設說的是可以構造線和圓，所以他是對兩件東西存在性的聲明。事實上歐幾里德用這種構造法證明很多命題。第五個公設非常啰嗦，沒有前四個簡潔好懂。聲明的也不是存在的東西，而是歐幾里德自己想的東西。這就足以說明他的天才。從歐幾里德提出這個公理到1800年這大約2100年的時間裡雖然人們沒有懷疑整個體系的正確性，但是對這個第五公設卻一直耿耿於懷。很多數學家想把這個公設從這個體系中去掉，但是幾經努力而無果，無法從其他公設中推導出第五公設。

同時數學家們也注意到了這個公設既是對平行概念的論述（故稱之為平行公理）也是對三角形內角和的論述（即內角和公理）。高斯對這一點是非常明白的，他認為歐幾里德幾何是物質空間的幾何，1799年他給他的朋友的一封信中表現了他相信平行公理不能從其他的公設中推導出來，他開始認真從事開發一個新的能夠應用的幾何。1813年，他發展了他的幾何，最初稱為反歐氏幾何，后稱星空幾何，最後稱非歐幾何。在他的幾何中三角形內角可以大於180度。當然得到這樣的幾何不是高斯一人，歷史上有三個人。一個是他的搭檔，另一個是高斯的朋友的兒子獨立發現的。其中一個有趣的問題是，非歐氏幾何中過直線外一點的平行線可以無窮。

不久之後，俄國的一位著名數學家也發現了一個新的非歐幾何，即羅氏幾何。他的三角形內角和是小於180度的。

而19世紀初非歐式幾何的發現，正是後來愛因斯坦發現廣義相對論的基礎。

亞歷山大里亞的梅內勞斯(Menelaus，約公元100年，他和斯巴達的Menelaus是兩個人)曾著《球面論》，著重討論球面三角形的幾何性質．以他的名子命名的“梅內勞斯定理”現載在初等幾何和射影幾何的書中，是證明點共線的重要定理．

定理 一直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或延長線分別相交於X，Y，Z，則

義大利數學家塞瓦(G．Ceva)在1678年發表了下面的十分有用的定理，它是證明共點線的重要定理．

定理 在△ABC內任取一點P，直線AP，BP，CP分別與邊BC，CA，AB相交於D，E，F，則

斯台沃特定理

定理 △ABC的邊BC上任取一點D，若BD=u，DC=v，AD=t，則

托勒密定理

托勒密(Ptolemy，約公元85～165年)是古代天文學的集大成者．一般幾何教科書中的“托勒密定理”(圓內接四邊形的對邊積之和等於對角線之積)，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式，托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質。

定理 如果四邊形內接於圓，那麼它的兩對對邊的乘積之和等於它的對角線的乘積．

斯泰納-萊默斯定理

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。

證明：

過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，

連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF

∴ES/CS=ED/FC

根據垂徑定理得：LD=ED/2，FT=FC/2

∴ES/CS=EL/CT

又∵∠E=∠C

∴△ESL∽△CST

∴∠SLN=∠STM

∵S是AB的中點所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）

同理，O，T，M，S四點共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

莫萊定理

1，平面中，周長相等的正三角形，正方形，圓的面積為， ， ，則 < < ；空間中，全面積相等的正四面體，正方體，球的體積為， ， ，則 < < 。這兩個命題中，周長在空間中對應全面積，正三角形對應正四面體，正方形對應正方體，圓對應球體。換言之，平面中，周長一定時，越接近圓形的圖形面積最大；空間中，全面積一定時，越接近球形的空間圖形，體積越大。

2，平面中，面積相等的正三角形，正方形，圓的周長為， ， ，則 > > 空間中，體積相等的正四面體，正方體，球的表面積為， ， ，則 > > 。換言之，平面中，面積一定時，越接近圓的圖形周長最小；空間中，體積一定時，越接近球的空間圖形，表面積越小。這也反映了宇宙中星體為什麼大多以球體或接近球體的形式存在，因為球體的表面積最小，表面積越小越穩定；動物世界中，弱小動物遇到敵人時，縮成一團，是出於本能，將受攻擊的區域減少到最小，因為球形的表面積最小。

3，平面中，不共線的三點可確定一個圓；空間中，不共面的四點可確定一個球。

4，平面中，過平面外一點有且只有一條直線與已知直線平行；空間中，過平面外的一條平行直線有且只有一個平面與已知平面平行。

5，平面中，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；空間中，過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直。 6，平面中的勾股定理也可推廣到空間：（1）長方體的體對角線長的平方等於共頂點的三條棱長的平方和；（2）設三稜錐A—BCD的三個側面兩兩互相垂直，則有等式 + + = 恆成立。

7，平面中，等邊ΔABC內任一點到各邊的距離之和為定值（等邊ΔABC的高）；等腰ΔABC底邊上任一點到兩腰的距離之和為定值（一腰上的高）。空間中，正四面體內任一點到各面的距離之和為定值（正四面體的高）；正三稜錐底面上任一點到各側面的距離之和為定值（一側面上的高）。

8，圓的周長公式： ；球的表面積公式： ；圓的面積公式： ；球的體積公式： 。其中R表示半徑，的指數1，2以及係數 與維數之間存在著一種對應。因為平面是二維的，空間是三維的。

9，平面中，三角形被平行於它一邊的直線所截得的三角形與原三角形的面積的比等於對應邊的平方比；空間中，稜錐被平行於它低面的平面所截得的小稜錐與原稜錐的體積的比等於對應邊的立方比。

10，平面中，三角形的面積公式： ；空間中有兩個相似命題：（1）稜錐的體積公式； 。其中，分別表示三角形的邊，稜錐的低面積，表示高。（2）三稜錐的體積也可按此公式計算： ，其中，為三稜錐一個側面的面積，為該側面與所對的側棱間的距離。

11，平面中，梯形的面積公式： ；空間中，低面是梯形的直棱住的體積公式： ，其中，表示兩個平行側面的面積，表示這兩個側面間的距離。