蝴蝶定理
古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一。這個命題最早出現在1815年，由W.G.霍納提出證明。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形像一隻蝴蝶。這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學愛好者研究，在考試中時有各種變形。
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。
蝴蝶定理的證明
過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，
連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
證法1:霍納證法
根據垂徑定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∵S是AB的中點所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）
同理，O，T，M，S四點共圓
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
證法2
（證明過程見圖片）
證明方法二
證法3:對稱證法
證法4:面積法
連接CO、EO並延長分別交圓O於I、J，連接IF、DJ交於K，
連接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共線
證法5:帕斯卡定理證法
又∵CI、EJ為⊙O直徑
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圓，H、D、K、M共圓
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK（ASA）
∴GM=MH
相似法
圖4
如圖4，過H作DG的平行線，交DF於K，交GE的延長線於L。
則△GIC∽△LHC，△DIC∽△KHC
∴
兩式相乘，得~~~①
又，∠L=∠G=∠F
∵∠EHL=∠KHF
∴△EHL∽△KHF
∴
∴（相交弦定理）
∵AC=BC
代入上式得
又∵（相交弦定理）
將上述兩式全部代入①中，得
∴IC=HC
蝴蝶定理
蝴蝶定理
2.中心投影：在不屬於⊙O'所在平面的空間上任取一點T作為投影中心，用平行於直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓，線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，如圖2，則對應存在P''O''=Q''O''.
3.仿射：將圖2的橢圓仿射為圓，如圖3，由仿射不變性知PO=QO.
利用曲線系可以證明任意圓錐曲線（包括退化情形）的蝴蝶定理。
圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。
證明：以PQ所在直線為x軸，M為坐標原點建立直角坐標系。
由於直線AB、CD經過原點M，其方程可分別設為，其中係數不全為0。則方程C1：表示這兩條直線。
又設已知圓錐曲線方程C2為
那麼，經過ABCD四點的曲線系C可寫成：
設P(-t,0)，Q(t,0)，則P、Q的坐標滿足方程C2，即
兩個方程相減即得d=0，即C2中不含關於x的一次項。
回到曲線C中，令y=0，得C與x軸交點的橫坐標x滿足：
也就是說，曲線C與x軸的兩個交點關於原點M對稱。
因為弦AD、BC組成一條通過ABCD的曲線C，它和x軸交於X，Y，所以有MX=MY。
該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣：M，作為圓內弦是不必要的，可以移到圓外。
蝴蝶定理的圓外形式：
圓外蝴蝶定理
1.在橢圓中
如圖一，橢圓的長軸A、A與x軸平行，短軸BB在y軸上，
中心為M(o，r)（b>r>0）。
（I）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率
（II）直線y=kx交橢圓於兩點C（x,y）,D(x，y)（y>0）；直線y=kx交橢圓於兩點G（x，y），H（x，y）（y>0）。求證：kxx/(x+x)=kxx/(x+x)
（III）對於（Ⅱ）中的C，D，G，H，設CH交X軸於點P，GD交X軸於點Q。
求證：|OP|=|OQ|。（證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形）
從x向AM和DM作垂線，設垂足分別為X'和X''。
類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為Y'和Y'
證明過程圖片
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①’
設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為②式，兩邊同取倒數，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②’
將①’兩邊同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它與②’完全一樣。這裡利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。
縱觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程方法處理幾何問題的作用與威力。
2.在圓錐曲線中
通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。
圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。
而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。
射影幾何裡面關於投影變換有一個重要結論，對於平面上任意兩個圓錐曲線C1,C2.任意指定C1內部一個點A1和C1上面一個點B1,另外任意指定C2內部一個點A2和C2上面一個點B2,存在一個唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.
由此對於本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個圓M，而將弦PQ的中點M變換成這個圓的圓心。
在此變換以後，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M內接矩形，PQ也是一條直徑，有對稱性顯然得出投影變換后M為X,Y的中點。又因為變換前後M都是線段PQ的中點，我們可以得出在直線PQ上這個變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點。
3.在平行四邊形中
在平行四邊形中，M為對角線AB與CD中點。
4.坎迪定理
坎迪定理
這個命題最早作為一個征解問題出現在公元1815年英國的一本雜誌《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人們的證明都並非初等，且十分繁瑣。
這篇文章登出的當年，英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納（他發明了多項式方程近似根的霍納法）給出了第一個證明，完全是相等的；另一個證明由理查德·泰勒（Richard Taylor）給出。
另外一種早期的證明由M.布蘭德（Mile Brand）1827年的一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法，由英國的J·開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"給出，只有一句話，用的是線束的交比。
“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形象一隻蝴蝶。
1981年，Crux雜誌刊登了K.薩蒂亞納拉亞納（Kesirajn Satyanarayana）用解析幾何的一種比較簡單的方法，利用直線束，二次曲線束。
1990年，CMO出現了箏形蝴蝶定理。
蝴蝶定理是古典歐式平面幾何的最精彩的結果之一。這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。
基本信息
- 中文名
- 蝴蝶定理
- 外文名
- Butterfly Theorem
- 別名
- 蝴蝶原理
- 應用學科
- 科學、數學、物理
- 適用領域
- 理科，幾何，高等數學
- 提出時間
- 1815年
- 提出者
- W.G.霍納
- 表達式
- XM=MY
- 地位
- 古代歐氏平面幾何最精彩之一
- 驗證推導
- 霍納證法等