拋物線

在數學中，拋物線是一個平面曲線，它是鏡像對稱的，並且當定向大致為U形（如果不同的方向，它仍然是拋物線）。它適用於幾個表面上不同的數學描述中的任何一個，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。

拋物線的一個描述涉及一個點（焦點）和一條線（該線）。焦點並不在於準則。拋物線是該平面中與準線和焦點等距的點的軌跡。拋物線的另一個描述是作為圓錐截面，由右圓錐形表面和平行於與錐形表面相切的另一平面的平面的交點形成。第三個描述是代數。

垂直於準線並通過焦點的線（即通過中間分解拋物線的線）被稱為“對稱軸”。與對稱軸相交的拋物線上的點被稱為“頂點”，並且是拋物線最鋒利彎曲的點。沿著對稱軸測量的頂點和焦點之間的距離是“焦距”。 “直腸直腸”是拋物線的平行線，並通過焦點。拋物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個任意方向打開。任何拋物線都可以重新定位並重新定位，以適應任何其他拋物線 - 也就是說，所有拋物線都是幾何相似的。

拋物線具有這樣的性質，如果它們由反射光的材料製成，則平行於拋物線的對稱軸行進並撞擊其凹面的光被反射到其焦點，而不管拋物線在哪裡發生反射。相反，從焦點處的點源產生的光被反射成平行（“准直”）光束，使拋物線平行於對稱軸。聲音和其他形式的能量也會產生相同的效果。這種反射性質是拋物線的許多實際應用的基礎。

拋物線具有許多重要的應用，從拋物面天線或拋物線麥克風到汽車前照燈反射器到設計彈道導彈。它們經常用於物理，工程和許多其他領域。

有關切線、法線的幾何性質

（1）設拋物線上一點P的切線與準線相交於Q，F是拋物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直於準線，垂足為A，那麼PQ平分∠APF。

（2）過拋物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切於P。〈為性質（1）第二部分的逆定理〉從這條性質可以得出過拋物線上一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。

（3）設拋物線上一點P的切線與法線分別交軸於A、B，則F為AB中點。

（4）設拋物線上除頂點外的點P的切線交軸於A，交頂點O的切線於B，則FB垂直平分PA，且FB與準線的交點M恰好是P在準線上的射影（即PM垂直於準線）。

（5）拋物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經過焦點。即：若AB、AC、BC都是拋物線的切線，則ABCF四點共圓。

（6）過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，連接切點的弦與軸相交於A。又設P在軸上的射影為B，則O是AB中點。

（7）若拋物線與一個三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準線通過該三角形的垂心。

有關弦的幾何性質

（8）焦點弦兩端的切線互相垂直，並且垂足在準線上。

（9）過焦點弦的端點A、B作準線的垂線，垂足分別為M、N。設A、B處的切線相交於P，則P是MN中點，並且以AB為直徑的圓切準線於P。

（10）若拋物線的兩條焦點弦相等，連接這兩條焦點弦的中點，則連線與軸垂直。

（11）拋物線的一條弦AB與軸相交於P（不一定是焦點F），過A、B分別作軸的垂線AM、BN，拋物線頂點為O，則OP²=AM*BN。

證明

以上性質均可以用坐標法來證明，在此以 為例給出性質（1）、（4）、（9）的證明。

（1）焦點，準線，設，則過P的切線方程為：

令，得，所以

於是，

易證二者數量積為0，因此有PF⊥QF。

要證PQ平分∠APF，可通過全等三角形的判定方法HL證明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到對應角∠APQ=∠FPQ即可。HL是顯然的，因為根據拋物線的定義，有PF=PA，而斜邊PQ是公共邊，因此兩個三角形全等。

根據這個性質，我們還能得出一個推論：AF被PQ垂直平分，並且四邊形PAQF內接於圓，PQ為直徑。

（4）根據已知條件，A在x軸上，B在y軸上。

PA方程為： ，令x和y等於0，解得

容易驗證B就是AP中點

而，它們的數量積為0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。

要證PM與準線垂直，只要證M的縱坐標與P相同，都為y0即可。

容易寫出直線BF： ，令，解得

故，命題得證。

（9）設

聯立AB與拋物線方程，消去x得

由韋達定理，

又PA與PB都為切線，根據切線方程，

聯立PA與PB的表達式可解得

而，根據中點坐標公式和韋達定理可知P是MN中點。

設AB中點為E，則E的縱坐標，與P的縱坐標相同，

因此PE∥x軸，PE⊥MN

而根據性質（8）可知PA⊥PB，即△PAB為直角三角形

所以E是△PAB的外心，所以PE是半徑

根據切線的判定定理可知，MN是圓E的切線，切點為P。

根據幾何性質（2）可以得到過拋物線上一點或拋物線外一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。

（1）P在拋物線上

①過P作準線的垂線，設A為垂足

②連接PF（F是焦點）

③作∠APF的平分線PQ

則根據性質（2），直線PQ為切線

（2）P在拋物線外

①連接PF

②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準線分別交於A、B

③過A、B分別作準線的垂線，垂線和拋物線分別交於M、N

④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）

這是因為，若連接MF，則在△PAM和△PFM中

∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（拋物線的定義）

∴△PAM≌△PFM（SSS）

∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對應角相等）

∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）

∴MP為切線（性質（2））

同理可證NP是另一條切線

Apollonius所著的八冊《圓錐曲線》（Conics）集其大成，可以說是古希臘解析幾何學一個登峰造極的精擘之作。今日大家熟知的 ellipse（橢圓）、parabola（拋物線）、hyperbola（雙曲線）這些名詞，都是 Apollonius 所發明的。當時對於這種既簡樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。

右開口拋物線：

左開口拋物線：

上開口拋物線：

下開口拋物線：

[p為焦准距]

在拋物線 中，焦點是，準線的方程是，離心率，範圍： ；

在拋物線 中，焦點是，準線的方程是，離心率，範圍： ；

在拋物線 中，焦點是，準線的方程是，離心率，範圍： ；

在拋物線 中，焦點是，準線的方程是，離心率，範圍： 。

拋物線四種方程的異同

共同點：

①原點在拋物線上，離心率e均為1 ②對稱軸為坐標軸；

③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱於原點，它們與原點的距離都等於一次項係數的絕對值的1/4

不同點：

①對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對稱軸為y軸時，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2；

②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時，焦點在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正號；開口方向與x（或y軸）的負半軸相同時，焦點在x軸（或y軸）的負半軸上，方程的右端取負號。

拋物線y=2px上一點（x0，y0）處的切線方程為： 。

拋物線y=2px上過焦點斜率為k的方程為：y=k（x-p/2）。

（對於向右開口的拋物線y=2px）

離心率：e=1（恆為定值，為拋物線上一點與準線的距 離以及該點與焦點的距離比）

焦點:（p/2，0）

準線方程l:x=-p/2

頂點：（0，0）

通徑：2P ；定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦

定義域：對於拋物線y=2px，p>0時，定義域為x≥0，p<0時，定義域為x≤0；對於拋物線x=2py，定義域為R。

值域：對於拋物線y=2px，值域為R，對於拋物線x=2py，p>0時，值域為y≥0，p<0時，值域為y≤0。

準線、焦點：拋物線是平面內到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡。這一定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。

軸：拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸簡稱軸。

弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點的線段。

焦弦：拋物線的焦弦是經過拋物線焦點的弦。

正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直於軸的焦弦。

直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。

主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸。

拋物線即把物體拋擲出去，落在遠處地面，這物體在空中經過的曲線。

以焦點在X軸上為例

知道P（x，y）

令所求為y=2px

則有y=2px

故2p=y/x

故拋物線為y=（y/x）x

現總結如下:

（1）知道拋物線過三個點（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）設拋物線方程為y=ax²+bx+c，

將各個點的坐標代進去得到一個三元一次方程組，解得a，b，c的值即得解析式。

（2）知道拋物線的與x軸的兩個交點（x1，0），（x2，0），並知道拋物線過某一個點（m，n），

設拋物線的方程為y=a（x-x1）（x-x2），然後將點（m，n）代入去求得二次項係數a。

（3）知道對稱軸x=k，

設拋物線方程是y=a（x-k）²+b，再結合其它條件確定a，c的值。

（4）知道二次函數的最值為p，

設拋物線方程是y=a（x-k）²+p，a，k要根據其它條件確定。

經焦點的光線經拋物線反射后的光線平行於拋物線的對稱軸。各種探照燈、汽車燈即利用拋物線（面）的這個性質，讓光源處在焦點處以發射出（准）平行光。

證明：設P（x0，y0），PT是拋物線在P處的切線，PH⊥PT，拋物線的方程為（a>0），焦點F坐標為（0， ）。

根據拋物線的定義知

又拋物線導數為

所以切線PN的斜率為2ax0，方程為y-y0=2ax0（x-x0）

求點T的坐標，令x=0，聯立拋物線方程得

則點T坐標為（0，-y0）所以

所以PF=FT，∠FTP=∠FPT，

又∠FPT=∠MPN

所以∠FTP=∠MPN

MP平行於y軸。

拋物線：y = ax+ bx + c （a≠0）

就是y等於ax 的平方加上 bx再加上 c；

a > 0時開口向上；

a < 0時開口向下；

c = 0時拋物線經過原點；

b = 0時拋物線對稱軸為y軸。

還有頂點式y = a（x-h）+ k

h是頂點坐標的x；

k是頂點坐標的y；

一般用於求最大值與最小值。

拋物線標準方程：y=2px

它表示拋物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐標為（p/2，0）準線方程為x=-p/2。

由於拋物線的焦點可在任意半軸，故共有標準方程y=2px，y=-2px，x=2py，x=-2py。

在平面直角坐標系中作出二次函數y=ax+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數圖像將是由 平移得到的。

二次函數圖像是軸對稱圖形，對稱軸為直線。

對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖象的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0），是頂點的橫坐標（即x=？）。

a，b同號，對稱軸在y軸左側

a，b異號，對稱軸在y軸右側

二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P（h，k）。

當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a（x-h）+k（a≠0）

， 。

二次項係數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。

當a>0時，二次函數圖象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。

一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a>0，與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0，所以 b/2a要大於0，所以a、b要同號。

當a>0，與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0，所以b/2a要小於0，所以a、b要異號。

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖象與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在拋物線y=2px上，則有：

① 直線AB過焦點時，xx = p²/4 ， yy = -p²；

（當A，B在拋物線x²=2py上時，則有xx = -p² ， yy = p²/4 ，要在直線過焦點時才能成立）

② 焦點弦長：|AB| = x+x+P = 2P/[（sinθ）]=（x1+x2）/2+P；

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中長的一條長度為P/（1-cosθ），短的一條長度為P/（1+cosθ））

④若OA垂直OB則AB過定點M（2P，0）；

⑤焦半徑：|FP|=x+p/2 （拋物線上一點P到焦點F的距離等於P到準線L的距離）；

⑥弦長公式：AB=√（1+k）*│x-x│；

⑦△=b-4ac；

⑴△=b-4ac>0有兩個實數根；

⑵△=b-4ac=0有兩個一樣的實數根；

⑶△=b-4ac<0沒實數根。

⑧由拋物線焦點到其切線的垂線的距離是焦點到切點的距離與到頂點距離的比例中項；

⑨標準形式的拋物線在（x，y）點的切線是：yy=p（x+x）

（註：圓錐曲線切線方程中x²=x*x y²=y*y ，x=（x+x）/2 ， y=（y+y）/2 ）