頂點式

在二次函數的圖像上

頂點式：y=a(x-h)²+k, 拋物線的頂點P（h,k）

頂點坐標：對於一般二次函數 其頂點坐標為

一般式

提出a得

配方得

令=0 則

所以頂點坐標為

1．會用描點法畫出二次函數的圖象。

2．能利用圖象或配方法確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置。

3．會根據已知圖象上三個點的坐標求出二次函數的解析式。

4. 將一般式化為頂點式。

概念

1．二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)²;+k，y=ax²;+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax²;

y=a(x-h) ²;

y=a(x-h)²;+k

y=ax²;+bx+c

頂點坐標(0，0)，(h，0)，(h，k),

對 稱 軸x=0，x=h，x=h,

當h>0時，y=a(x-h)²;的圖象可由拋物線向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²;+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象；

因此，研究拋物線 y=ax²;+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²;+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線y=ax²;+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=，頂點坐標是()．

3．拋物線y=ax²;+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤時，y隨x的增大而減小；當x≥-時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤被時，y隨x的增大而增大；當x≥時，y隨x的增大而減小．

4．拋物線y=ax²;+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的兩根．

（3）當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

（4）當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；

當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

6．用待定係數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax2+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²;+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

拋物線字母和拋物線的關係

1.拋物線的一般式: y=ax²+bx+c （a≠0）

頂點式 y=a(x-h)²+k （a≠0）

2.拋物線y=ax²+bx+c化成頂點式為y=a(x-h)²+k

頂點坐標為)

對稱軸為

最值為

3.a>0時開口向上

a<0時開口向下.

︱a︱相同，則形狀相同

︱a︱越大，則開口小

︱a︱越小，則開口大.

4.a>0時，拋物線有最低點，有最小值

a<0時, 拋物線有最高點，有最大值.

5.a>0時

在對稱軸左側，y隨x的增大而 減小

在對稱軸右側，y隨x的增大而增大

a<0時

在對稱軸左側，y隨x的增大而增大

在對稱軸右側，y隨x的增大而減小

6.判斷拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點的位置由 C 決定

①當 C >0 時拋物線與y軸相交於正半軸上

②當 C =0 時拋物線與y軸相交於原點

③當 C<0 時拋物線與y軸相交於負半軸上

7.拋物線與x軸交點的個數由 △ 決定

當 △>0 時，拋物線與x軸有2個交點；

當 △=0 時，拋物線與x軸只有1個交點，即頂點在 x 軸上；

當 △≥0 時，拋物線於x軸總有交點；

當 △<0 時，拋物線與x軸沒有交點。