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相交弦定理

數學定理

相交弦定理(Intersecting Chords Theorem),數學術語,是指圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等或經過圓內一點引兩條弦,各弦被這點所分成的兩線段的積相等。

說明


幾何語言:
若圓內任意弦AB、弦CD交於點P
則 PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

定理


相交弦定理為圓冪定理之一,其他兩條定理為:

證明


證明:連結AC,BD
由圓周角定理的推論,得∠A=∠D,∠C=∠B。(圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.)
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD
註:其逆定理可作為證明圓的內接四邊形的方法. P點若選在圓內任意一點更具一般性。其逆定理也可用於證明四點共圓

比較


相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求線段長度。
當P點在圓內時稱為相交弦定理,當P點在圓上時稱為切割線定理,當P點在圓外時稱為割線定理。三條定理統稱為圓冪定理。其中|OP²-R²|稱為P點對圓O的冪。(R為圓O的半徑)

推論


相交弦定理
相交弦定理
如果弦與直徑垂直相交,那麼弦的一半是它所分直徑所成的兩條線段的比例中項。
幾何語言:
若AB是直徑,CD垂直AB於點P,
則PC²=PA·PB(相交弦定理推論)