切割線定理

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關係。這是一個重要的定理，在解題中經常用到。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT²=PA·PB。

證明：連接AT， BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)；

∴PBTPTA(兩角對應相等，兩三角形相似)；

∴PB：PT=PT：AP；

即：PT²=PB·PA。

【例1】求證：兩個相交圓的公共弦的延長線上任何一點到兩圓的切線等長（如下圖）。

已知：P為兩圓公共弦BA的延長線上任意一點，和分別為以點P到和所引的切線，為切點，求證：。

證明：PAB和分別為從P點到所引的割線和切線，根據圓冪定理，可知：同理可證所以。

【例2】如下圖，AB為的直徑，AC為的切線，A為切點，割線CDF交AB於E。若。求的直徑AB長。

解：由切割線定理得：，設，則所以：

在中，由勾股定理得：，

由相交弦定理得：，

則

所以。