幺半群

么半群是一個帶有二元運算的集合M，其符合下列公理：結合律：對任何在M內的。

單位元：存在一在M內的元素e，使得任一於M內的a都會符合。

通常也會多加上另一個公理：

封閉性：對任何在M內的a、b，也會在M內。

但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。

另外，么半群也可以說是帶有單位元的半群。

么半群除了沒有逆元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有逆元素的么半群和群是一樣的。

么半群 M 的 子么半群是指一個在 M 內包含著單位元且具封閉性（即若, ，則 ）的子集 N。很明顯地， N 自身會是個么半群，在導自 M 的二元運算之下。等價地說，子么半群是一個子集 N ，其中，且上標 * 為克萊尼星號。對任一於 M 內的子集 N 而言，子么半群 N 會是包含著 N 的最小么半群。

子集 N 被稱之為 M 的生成元，當且僅當。若 N 是有限的， M 即被稱為是有限生成的。

運算為可交換的么半群稱之為可交換么半群（或較少地，稱之為阿貝爾么半群）。可交換么半群經常會將運算寫成加號。每個可交換么半群都自然會有一個它自身的代數預序 ，定義為下： 當且僅當存在 z 使得 。可交換么半群 M 的序單位是一個在 M 內的元素 u ，其中對任一在 M 內的元素 x 而言，總會存在一個正整數 n 使得。這經常用在 M 是偏序阿貝爾群 G 的正錐體的情況，在這種情況下我們稱 u 是 G 的序-單位。有接受任何交換么半群，並把它變成全資格阿貝爾群的代數構造；這個構造叫做格羅滕迪克群。

運算只對某些元素而不是所有元素是交換性的的么半群是跡么半群；跡么半群通常出現在併發計算理論中。

兩個么半群和之間的同態是一個函數f :，會有如下兩個性質：

對所有在M內的x和其中e和e′分別是M和M′的單位元。

不是每一個群胚同態都會是個么半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於么半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

雙射么半群同態稱做么半群同構。