對偶原則

對偶，是大自然中最為廣泛存在的，呈“分形”形態分佈的一種結構規律，及任何系統往下和往上均可找出對偶二象的結構關係，且二象間具有完全性，互補性，對立統一性，穩定性，互漲性和互根性。

在射影平面上，如果在一個射影定理中把點與直線的觀念對調，即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關係改成直線的共點關係，所得的命題仍然成立，這稱為對偶原則。例如，德沙格定理是有關點、直線以及它們的銜接關係的定理，它是一個射影定理。它的對偶定理就是它的逆定理。該原理也可推廣到n維射影空間中去。

柏斯卡著名的“神秘的六邊形”定理和布里安昌定理都具有對偶關係，其中前一定理是帕斯卡在1640年於其標題為《略論圓錐曲線》的一張大幅印刷品中公布的；而後一定理則是在1806年由巴黎高等工藝學院的學生C.J.BrianCho首先發表的。這兩個定理的出現，時間間隔長達150多年。在這期間，數學家們己經注意到，如果將關於平面圖形定理中的點和直線互換的話，得到的相應陳述往往是正確的。至於出現這種現象的原因是什麼，當時尚不清楚。這種現象，在今天看來，即是對偶現象。布里安昌當時對對偶原理儘管不大明確因而亦不太相信，但是他的上述定理的發現還是受對這種現象的模糊認識影響的。

在歷史上，首先對對偶原理加以研究並將它作為一種研究數學的重要工具加以利用的，是法國的數學家J.V彭賽列。他在建立射影幾何理論時做到了這一點，他將對偶現象出現的原因歸結於極點和極線間的一種對應關係(特殊對射)，關於平面圖形的定理在這種變換下保持它的真理性一即圖形性質實際上是這種對應變換(配極)的一種不變數。他在1822年寫的《論圖形的射影性質》(在巴黎出版)和在1824年提交巴黎科學院的《衍合配極的一般理論》中，給出了極點和極線相互變換的一般表述，並以此建立了許多定理。不過，在這一時期，他利用配極來建立的對偶原理，是需要一個圓錐曲線來作中介的，也就是說這時的對偶原理還不具有像現在的一般形式。突破這種局限性的，是數學家吉爾崗尼，他堅決主張對偶原理是個普遍原理，適用於除涉及度量性質外的一切陳述和定理，極點和極線是不必要的中介支撐物。“對偶性”一詞就是首先由他引進的。他將這一詞用來表示一定理和由此變換(點、直線互換)出的新定理間的關係，而且為清晰起見，他還發明了將對偶定理寫在原定理的旁邊並排放置的做法。儘管吉爾崗尼擺脫了彭賽列對偶原理陳述的束縛，擴大了原理的應用範圍，但是他的表述也是有缺陷的。

19世紀中葉以前，對偶原理從理論上被弄清了，但使用它的正確的邏輯基礎當時還沒明確。直到20世紀初公理化方法建立起來以後，人們才在從自對偶公理組的角度來建立射影幾何體系的成功嘗試中得到了這一原理的邏輯證明。由於對偶原理對射影幾何的發展起了重大的推動作用，推動了數學家們對其在格論、一般布爾代數系統、布爾代數、集合代救、偏序集、範疇論等領域中應用的研究。

綜上可知，對偶原理作為一種方法，經歷了一個由提出、認識模糊到認識清楚及由一個領域擴展到多個領域甚至整個數學領域的過程。

常見的射影平面模型有以下三種:

擴展的歐氏平面

這是最常見的射影平面的模型，它是在普通的歐氏平面上增加一條無窮遠直線。即每條普通直線增加一個無窮遠點，而平行的直線其無窮遠點相同，不平行的直線無窮遠點相異。我們將增加了無窮遠點的普通直線稱為射影直線，所有的無窮遠點之集稱為無窮遠直線。

空間的線束

把束中的每條直線看作射影平面的一個“點”，把共面的所有直線看作射影平面的一條“射影直線”。這是射影平面又一種常見的模型。

代數模型

在前兩種射影平面的模型建立的齊次坐標基礎上，可以直接建立射影平面的代數模型。

1.如果兩個三角形的對應頂點的連線相會於一點，則這兩個三角形的對應邊的交點必定在同一直線上。

（如果兩個三角形的對應邊的交點在同一直線上，則這兩個三角形的對應頂點的連線必定相會於一點。）

2.一個六邊形的六個頂點在一條二次曲線上，當且僅當，該三對對邊的交點在一條線上。

（一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，當且僅當，聯該三對頂點的線交於一點）。

對偶原理是一座橋樑，藉助於它，可以從數學某領域中的一定理走到另一定理(對偶定理)，當前一定理從邏輯上被證明后，后一定理的正確性是無須再證的。即對偶原理具有真的特點。

另一方面，對偶原理對於數學的發展具有很重要的促進作用，也就是說它在數學領域中具有實用價值，因而具有善的特點。

最後通過對對偶原理的具體分析，對偶原理刻畫了數學理論的一種對稱性，而對稱具有美的特徵，所以它也是一種具體的數學美學的方法。

對偶原則在現代數學特別是幾何學、代數學、拓撲學等學科中有著廣泛的應用，對於推動數學的發展起著很好的作用。舉例來講，在範疇論中，藉助於對偶變換(對偶化)，由始對象便可得終對象、由單態射得滿態射、由核得上核、由積得上積；在同調代數中，由正向極限得反向極限、由內射模得投射模、由內射包得投射包、由投射分解(維數)得內射分解(維數)、由復形得上復形、由雙復形得上雙復形、由同調得上同調等。