對偶

對偶問題：每一個線性規劃問題都存在一個與其對偶的問題，原問題與對偶問題對一個實際問題從不同角度提出來，並進行描述，組成一對互為對偶的線性規劃問題。

對偶空間：設V為數域P上一個n維線性空間。V上全體線性函數組成的集合記作L(V，P)。定義在L(V，P)上的加法和數量乘法：，，則L(V，P)也是數域P上的線性空間。這樣構造的L(V，P)就稱為V的對偶空間。

對偶理論是研究線性規劃中原始問題與對偶問題之間關係的理論。在線性規劃早期發展中最重要的發現是對偶問題，即每一個線性規劃問題（稱為原問題）有一個與它對應的對偶線性規劃問題（稱為對偶問題）。1928年美籍匈牙利數學家J.von諾伊曼在研究對策論時，發現線性規劃與對策論之間存在著密切的聯繫。

設線性規劃問題中P問題：，，且；D問題：，，且。問題P和問題D互為對偶問題。其特點如下：目標函數的目標互為相反(max，min)；目標函數的係數是另一個約束條件右端的向量；約束係數矩陣是另一個的約束係數矩陣的轉置；約束方程的個數與另一個的變數的個數相等；約束條件在一個問題中為“”，在另一個問題中為“”。

弱對偶性：，X、Y分別為原始問題和對偶問題的可行解。這個定理表明極大化問題任一可行解的目標函數值總是不大於它的對偶問題的任一可行解的目標函數值。

最優性：當原問題與對偶問題均有可行解X、Y，且當時，則X、Y分別是原問題與對偶問題的最優解。

無界性：如果原問題（對偶問題）有無界解，則對偶問題（原問題）無可行解。

強對偶性：若原問題有最優解，則對偶問題也一定有最優解，且目標函數值相等。

互補鬆弛性：變數為“”時，其對應約束條件為“=”；約束條件為“”時，其對應對偶變數為“0”。線性規劃問題的約束條件與對偶變數一一對應，即一個問題的約束條件和另一個問題的變數對應，一個問題的變數和另一個問題的約束條件對應。

對偶變數的意義代表對一個單位第i種資源的估價，稱為影子價格。影子價格不同於市場價格，b代表資源的擁有量，代表在資源最優利用條件下對單位資源的估價，但不是市場價，而是對資源在生產中做出的貢獻的估價，一般稱為影子價格。市場價格是已知的，而影子價格則與資源的利用情況有關，利用的總的經濟效益產生的影響，因此對企業經營管理提供一些有價值的信息。

數學中的對偶原理

1.如果兩個三角形的對應頂點的連線相會於一點，則這兩個三角形的對應邊的交點必定在同一直線上。

（如果兩個三角形的對應邊的交點在同一直線上，則這兩個三角形的對應頂點的連線必定相會於一點。）

2.一個六邊形的六個頂點在一條二次曲線上，當且僅當，該三對對邊的交點在一條線上。

（一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，當且僅當，聯該三對頂點的線交於一點。）

物理中的對偶原理

在電磁學中，均勻介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場有對偶關係，電位移矢量D與電流密度矢量J，電荷q與電流I對偶。電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯與並聯、電阻與電導、電容與電感，都存在對偶關係。在使用節點電壓法和迴路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。

現代控制理論中的對偶原理

在自動控制論中，有時候需要研究系統的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統方程帶來很多方便。

對偶在求數列中若干項的和或積的問題上有一定的應用。如果能對其結構進行對稱性的分析，將數學的對稱美與題目的條件或結論相結合，就能構建一組互相關聯的對偶式，從而確定解題的總體思路或入手方向。其實質是讓美的啟示、美的追求在解題過程中成為宏觀指導力量，使問題的解決過程更加簡潔明快。對稱在數學上常常表現為數式或圖形的對稱，命題或結構的對偶或對應。在數學解題過程中，若能積極挖掘問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使複雜的問題變得條理清楚，脈絡分明，能化難為易、化繁為簡。

對偶理論則廣泛應用於經濟分析中。例如，在經濟均衡的分析中，可以通過設計優化模型，運用對偶理論和模型體系研究市場均衡及其實現均衡所需要的基本條件。

對偶原理在現代數學特別是幾何學、代數學、拓撲學等學科中有著廣泛的應用，對於推動數學的發展起著很好的作用。舉例來講，在範疇論中，藉助於對偶變換(對偶化)，由始對象便可得終對象、由單態射得滿態射、由核得上核、由積得上積；在同調代數中，由正向極限得反向極限、由內射模得投射模、由內射包得投射包、由投射分解(維數)得內射分解(維數)、由復形得上復形、由雙復形得上雙復形、由同調得上同調等。