立方和公式
立方和公式
立方和公式是有時在數學運算中需要運用的一個公式。該公式的文字表達為：兩數和，乘它們的平方和與它們的積的差，等於這兩個數的立方和；表達式為：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。
立方和：
a³+b³
=a³+a²b-a²b+b³
=a²（a+b）-b（a²-b²）
=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）
=（a+b）[a²-b（a-b）]
=（a+b）（a²-ab+b²）
立方差：
a3-b3
=a3-b3+a2b-a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=[a2+b(a+b)](a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)
(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
立方和累加
正整數範圍中
註：可用數學歸納法證明
我們知道：
0次方和的求和公式，即
1次方和的求和公式，即
2次方和的求和公式，即——平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式，迭代即得。
具體如下：
(k+1) - k = (k + 3k + 3k + 1) - k = 3k + 3k + 1
利用上面這個式子有：
2 - 1 = 3×1 + 3×1 + 1
3 - 2 = 3×2 + 3×2 + 1
4 - 3 = 3×3 + 3×3+ 1
5 - 4 = 3×4 + 3×4 + 1
……
(n+1) - n = 3×n + 3n + 1
把上述各等式左右分別相加 得到：
(n+1)-1 = 3×(1+2+3+……+n) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1
n + 3n + 3n + 1 - 1 = 3×(1+2+3+……+n)+3×n(n+1)/2+n (1)
其中1 + 2+ 3 + …… + n = n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得 1 + 2+ 3 + …… + n=[n(n+1)/2]
取公式：
係數可由楊輝三角形來確定
那麼就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
於是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左邊=
右邊=
把以上這已經證得的三個公式代入，
得
移項后得
等號右側合併同類項后得
即
推導完畢。
設數列{}=n(n+1)(n+2)，其n項和為，且設=+++…+，則
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
=
=+3+2
=+3×+2×
=++n(n+1)
又=1×（1+1）×(1+2)+2×（2+1）×(2+2)+…+n(n+1)（n+2）
=+++…+
=(+++…+)
=(+++…+)
=(+++…+)
=(++…+)
=…
=
=6
∴
由此得=。
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：
要得到，可使用的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：
·
·
·
把三個部分加在一起，便得：
=
=
之後，把減去它，便得：公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：
=
可通過完全平方公式，得到：
=
=
這樣便可證明：
基本信息
- 中文名
- 立方和公式
- 外文名
- cubic metre
- 拼音
- lì fāng hé gōng shì
- 定義
- 是有時在數學運算中需要運用的一個公式。
- 來源
- 國外
- 內容
- 立方和的公式
- 應用領域
- 數學
- 證明方法
- 迭代法、排列組合、、幾何法
- 分類
- 立法和、立方差