復隨機變數
復隨機變數
設X，Y是定義在同一個概率空間上的兩個實隨機變數，稱Z=X+iY為一個復隨機變數，其中i=-1。復隨機變數X+iY本質上是二維隨機變數(X，Y)，具有二維隨機變數的一些性質。例如，實二維隨機變數(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)相互獨立，那麼復隨機變數X1+iY1，X2+iY2，…，Xn+iYn也相互獨立。當復隨機變數Z=X+iY的實部X與虛部Y都有有限的數學期望，就定義E[Z]=E[X]+iE[Y]為Z的數學期望，若E[X]、E[Y]至少有一個不存在，就說E[Z]不存在。關於隨機變數數學期望的一些性質，對復隨機變數也成立。
一些重要的量往往是複數，如周期信號的傅里葉係數就是複數，因此需要一種記號，以便於處理取值為複數的隨機變數，即式中：實部X和虛部Y都是實隨機變數。
復隨機變數Z的實部X和虛部Y的聯合概率密度，稱為復隨機變數Z的密度函數，即式中：為一個實數。
若將實隨機變數的期望值、方差和協方差推廣至復隨機變數時，則要求：
(1)當實隨機變數(或)時，復隨機變數Z的矩應當等於實隨機變數X(或Y)的矩。
(2)必須保持隨機變數的矩的特性(如方差應為非負實數)。
復隨機變數Z的期望值規定為當時， ，符合前述要求。
復隨機變數Z的方差規定為式中：上標*表示共軛。若，則，符合要求。
兩個復隨機變數 和 之間的協方差規定為如果，則有，符合要求。
對於隨機復向量 X和 Y，可推廣上述定義。其中，協方差矩陣表示成式中：上標H表示取共軛轉置。
若復隨機變數和 的協方差為零，即則稱復變數和 不相關。
若復隨機變數和的二階混合矩為零，即則稱復變數和 正交。
若復隨機變數和 的密度函數滿足則稱復變數和 獨立。
基本信息
- 外文名
- complex random variable